Teorema 1A  Dimostra che i coefficienti dei polinomi che, al variare del numero di addendi, danno somme di interi consecutivi sono dati dalla matrice inversa di una matrice triangolare (detta sfregiata a segni alterni) ricavabile dal triangolo di Tartaglia

Ipotesi :

Definizione 1a  Indicherò con      una matrice quadrata, che chiamerò sfregiata a segni alterni, di dimensioni nxn con elementi    così definiti:

     per  k>i   ;     altrimenti          
(i=1,2…n;k=1,2…n)                                                                             

Esempi 

Definizione 2a. Indico con      un vettore (dimensioni nx1) di potenze con elementi         (i=1,2…n)                                                                        

  Esempi

Definizione 3a. Pongo     Il risultato è un vettore di somme di potenze (dimensione nx1) con elementi     (i=1,2…n)                      

Esempi

Definizione 4a. Indico con      Il risultato è un vettore di potenze (dimensione nx1) con elementi       (i=1,2…n)                             

            Esempi

Tesi :                                            

  Esempi

Dimostrazione:

 Per la definizione 3a

Per la proprietà distributiva

dove  è il vettore risultante dal prodotto righe per colonne con elementi dati da

Infatti risulta
 

per la transitività dell’uguaglianza

essendo    una matrice triangolare con determinante  sempre diverso da zero, moltiplicando a sinistra
i due membri della precedente uguaglianza per  si ottiene la tesi.

Corollario1A     Al variare di p gli n polinomi che si ottengono dal prodotto , righe per colonne,   calcolano le somme di p potenze intere consecutive il cui risultato è nel vettore .

Per esempio per n=5

essendo        

si ha

facendo il prodotto riga per colonna si può mettere in una equivalente forma polinomiale:

Corollario 2A   Generazione dei numeri Di Bernoulli mediante matrici quasi triangolari., sfregiate a segni alterni,

Si osservi che la prima colonna della matrice  corrisponde ai coefficienti di primo grado dei polinomi per il calcolo della somma di potenze consecutive che coincidono, salvo che per il segno del secondo termine, con i numeri di Bernoulli:

           …..

Ricordando che il calcolo della matrice inversa che permette di determinare l’ultimo elemento della prima colonna mediante il complemento algebrico dell’ultimo elemento della prima riga diviso per il determinante, per n>1 si ottiene:

      Dove  indica il minore di ordine n-1 che si ottiene da   sopprimendo la prima riga e l’ultima colonna.

Essendo i numeri di Bernoulli con indice dispari sempre nulli salvo il primo, risulta per n>1

In particolare iniziando da n=2:                               

          etc. etc.