Teorema 1B  Dimostra che i coefficienti dei polinomi che, al variare del numero di addendi, danno somme di interi consecutivi sono dati dalla matrice inversa di una matrice triangolare (detta sfregiata positiva) ricavabile dal triangolo di Tartaglia

Ipotesi :

Definizione 1b  Indicherò con      una matrice quadrata, che chiamerò sfregiata positiva, di dimensioni nxn con elementi    così definiti:

     per  k>i   ;     altrimenti             (i=1,2…n; k=1,2…n)                                                                             

Esempi 

Definizione 2a. Indico con      un vettore (dimensioni nx1) di potenze con elementi         (i=1,2…n)                                                                        

  Esempi

Definizione 3a. Pongo     Il risultato è un vettore di somme di potenze (dimensione nx1) con elementi     (i=1,2…n)                      

Esempi

Definizione 4a. Indico con      Il risultato è un vettore di potenze (dimensione nx1) con elementi       (i=1,2…n)                             

            Esempi

Definizione 5b   Indico con  un vettore costante di dimensione nx1 con componenti tutte nulle eccetto la prima che vale 1  

Definizione 6b   Indico con  un vettore costante di dimensione nx1 con componenti tutte uguali a 1  

Tesi :                                            

Dimostrazione:

 per la proprietà distributiva

 perché, essendo , 

 il prodotto riga per colonna dà sempre 1

Per la definizione 3a

Per la proprietà distributiva

dove  è il vettore risultante dal  prodotto righe per colonne con elementi dati da
 

annullamento di opposti addendi

per la transitività dell’uguaglianza

moltiplicando i due membri a sinistra per  

aggiungendo ai due membri il vettore  si ottiene la tesi

Corollario1B     Al variare di p gli n polinomi che si ottengono dal prodotto   

calcolano le somme di p-1 addendi consecutivi nelle somme di potenze di interi .

Per esempio per n=5

essendo        

si ha

facendo il prodotto riga per colonna si può mettere in una equivalente forma polinomiale:

Corollario 2B   Generazione dei numeri Di Bernoulli mediante matrici sfregiate quasi triangolari.

Si osservi che la prima colonna della matrice  corrisponde ai coefficienti di primo grado dei polinomi per il calcolo della somma di potenze consecutive che sono i numeri di Bernoulli:

           …..

Ricordando che il calcolo della matrice inversa che permette di determinare l’ultimo elemento della prima colonna mediante il complemento algebrico dell’ultimo elemento della prima riga diviso per il determinante si ottiene:

      Dove  indica il minore di ordine n-1 (n>1)che si ottiene da   sopprimendo la prima riga e l’ultima colonna.

In particolare iniziando da n=2: