Poligonali e tassellazione del piano con triangoli simili

Studio sulla tassellazione logaritmica del piano con triangoli simili.
di Giorgio Pietrocola (giorgio@pietrocola.eu)

Riassunto.
Partendo da un concetto maturato dalla pratica della geometria della tartaruga, quello di poligonale logaritmica, spiego come dividere regolarmente il piano mediante una sola serie geometrica di triangoli simili (tassellazione logaritmica o geometrica convergente). Evidenzio poi, usando un antico concetto, come ogni triangolo di questa tassellazione sia lo gnomone di un particolare poligono compresi i casi particolari dei triangoli aurei. Infine, ispirato dall'arte di Mauritius Cornelius Escher. partendo dalle serie di triangoli mostro come creare fantasiose figure tassellanti e convergenti.

1.Poligonali logaritmiche.

Definizione
Chiamo poligonale logaritmica (o geometrica) una spezzata fatta di segmenti che si riducono
di un fattore r mentre ruotano di un angolo (esterno) alfa.
Come mostrato in figura 1 gli elementi che caratterizzano questa poligonale sono:
la lunghezza del primo segmento la cui misura è indicata da a
il fattore di riduzione indicato con r (r<1)
l'angolo di rotazione indicato con alfa
la lunghezza dei successivi segmenti varia in progressione geometrica di ragione r
formando la successione infinita
a ar ar² ar³ ..... di lunghezza complessiva a/(1-r)

Fig.1 Poligonale logaritmica

Osservazione.
Una poligonale logaritmica si prestano ad essere descritte agevolmente con la geometria della tartaruga.
Si può ottenere in linguaggio Logo con istruzioni del tipo:
to polilog :alfa :a :r
if :a<1 [stop]
forward :a right :alfa
polilog :alfa :a*:r :r
end
Potete provare con MSWLogo distribuito gratuitamente dalla Softronix
( http://www.softronix.com/ )

Nella figura, e nel seguito, si è supposto che la rotazione avvenga a destra. Ovviamente una rotazione a sinistra genera un'analoga poligonale sul lato sinistro del segmento di partenza.

2 Poligonali logaritmiche con triangoli simili costruiti sui suoi lati
(dalla parte dell'avvolgimento)

Le dimensione dei lati dei triangoli diminuiscono in progressione geometrica:
a₀=a	b₀=b	c₀=c
a₁=ar	b₁=br	c₁=cr
a₂=ar²	b₂=br²	c₂=cr²
...	...	...
a_i=arⁱ	b_i=brⁱ	c_i=crⁱ
...	...	...

Nella figura l'angolo opposto ai segmenti della poligonale è stato scelto uguale all'angolo alfa di rotazione della poligonale stessa.
Se fosse stato maggiore i triangoli consecutivi si sarebbero toccati solo in un punto se fosse stato minore si sarebbero sovrapposti.
Così invece essendo a+b+c=180 il lato b del triangolo successivo cade, esattamente, sul lato c del precedente.

Tab.1 lati dei successivi triangoli

Fig.2 Poligonale con triangoli simili

Ricordando che il nostro scopo è tassellare il piano con triangoli simili prenderemo in considerazione solo triangoli con angolo alfa come mostrato nella precedente figura.
Cercheremo quindi le ulteriori condizioni affinché la serie di triangoli si chiuda in se stessa senza sovrapposizioni o spazi vuoti.

3. Un caso particolare che indica la convergenza della poligonale.
Particolarmente interessante è il caso in cui c₀=b₁ ossia c=br.
In questo caso il lato minore di un triangolo coincide con il maggiore del successivo (c_i=b_i+1) per cui tutti i triangoli della serie hanno lo stesso vertice V dove, quindi, deve convergere la poligonale.
Possiamo dire che V è un punto di accumulazione per la poligonale (e per i triangoli) nel senso che scelta una circonferenza con centro in V arbitrariamente piccola in essa saranno, comunque, contenuti infiniti lati della poligonale (e infiniti triangoli).
Per facilitare la lettura nella prima figura sotto compaiono solo i primi tre triangoli ma nella figura seguente si vede bene come, in questo caso particolare, peraltro molto interessante, la sovrapposizione dei triangoli sia inevitabile e la tassellazione quindi impossibile.

Fig.3 Triangoli con lo stesso vertice

Fig.4 Poligonale convergente nel vertice

Fig.5 Poligonale e spirale logaritmica

4 Dalla poligonale alla spirale logaritmica

La fig.5 mostra la spirale logaritmica associata ad una poligonale logaritmica. Infatti mentre la distanza dei vertici della poligonale da V diminuisce in progressione geometrica l'angolazione varia in progressione aritmetica di ragione alfa secondo la seguente tabella:
Passando dal discreto al continuo la funzione polare r(q)=br^q/a descrive la curva disegnata che è interpolata dalla poligonale

angolo	distanza	funzione r(q)
0	b	r(0)=b
a	br	r(a)=br
2a	br²	r(2a)=br²
ka	r^kb	r(ka)=br^k
q	br^q/a	r(q)=br^q/a

^{Tab.2 distanza al variare dell'angolo}

5 Alcuni esempi.
Ecco altre due poligonali logaritmiche con i triangoli nel caso particolare c=br Il fattore di riduzione è r=0.8 gli angoli sono rispettivamente 80 e 72. Da notare, nel secondo caso, che essendo 72 divisore di 360, gli angoli al vertice si sovrappongono periodicamente.
Più in generale considereremo i triangoli nel caso in cui c=bt

Fig.6 alfa=80 r=80%

Fig.7 alfa=72 r=80%

Le due figure a lato mostrano il caso c/b=t=1/r
e quindi anche c=b/r

In rosso i triangoli del caso t=r.
Da notar, in fig.9 che i triangoli nei due casi, neri e rossi, risultano, l'uno rispetto all'altro, ribaltati.

Fig.8 t=1/r

Fig.9 Triangoli ribaltati

In questi altri due esempi l'angolo della poligonale è alfa= 85 gradi
e il fattore di riduzione
o r=0.8 (80%)
Nella prima figura t=2( cioè c=2b)
nella seconda t=1.5 (cioè c=3b/2)

Fig.10 alfa=85 r=80% t=2

Fig.11 alfa=80 r=80% t=1.5

6. Tassellazione logaritmica del piano. Tra lacune e sovrapposizion le condizioni per la tassellazione del piano con una serie infinita di triangoli simili.

Come mostrerò, per alcune poligonali logaritmiche è possibile scegliere un opportuno valore di t=c/b tale che tra i triangoli non ci sia né sovrapposizione né spazio vuoto ma si formi, esattamente, un poligono. Nelle figure accanto (12-13) la formazione di poligoni rispettivamente di 4 e di 5 lati

Fig.12 Quadrilatero di triangoli simili

Fig.13 pentagono di triangoli simili

Dato che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è
180(n-2)
condizione necessaria per la chiusura dei triangoli in un poligono è che sia
c+(n-1)(c+b)=180(n-2)
essendo b+c=180 -a si ottiene facilmente
c=(n-1)a-180 da cui sin c= - sin((n-1)a)
b= - na+360 da cui sin b = - sin(na)
Dato che in ogni triangolo, per il teorema dei seni, c/a=sin c/sin a
c=-a sin((n-1)a)/sina
analogamente c/b=sin c/sin b
ma dato che c=tb dovrà essere t=sin c/sin b ossia
t =sin((n-1)a)/sin(na)

Nell'esempio in figura n=5 dunque dovrà essere c=-a sin(4a)/sina
c=4a-180 b=-5a+360 t=sin(4a)/sin(5a)

Fig.14 Angoli

Fig.15 Lati

Dunque, scelto l'angolo di rotazione della poligonale alfa e il numero di lati del poligono che si vuole ottenere t risulta determinato.
L'ulteriore condizione perché i triangoli della poligonale si chiudano perfettamente in un poligono di n lati è che risulti:
c₀=b₁+a_n ossia c=br +arⁿ(vedi figura nel caso di un poligono di 4 lati)
ed essendo b=c/t si ottiene c=arⁿ/(1-r/t)
Da notare che quando moltiplichiamo i due membri per r si ottiene, successivamente, anche:
c₁=b₂+a_n+1c₂=b₃+a_n+2... c_j=b_j+1+a_n+j...

Dovendo essere 0<c<180 0<b<180 con c=(n-1)a-180 b= - na+360 si ottiene
180/(n-1)<a<360/n e quindi
180<(n-1)a<360(n-1)/n 180n/(n-1) < na <360 da cui sin((n-1)a<0 e sin(na)<0

Dunque, dati alfa ed n, uguagliando i valori di c precedentemente trovati,
c=-a sin((n-1)a)/sina c=arⁿ/(1-r/t)
si ottiene:
k=rⁿ/(1-r/t) k(1-r/t)= rⁿ k-mr= rⁿ
con t =sin((n-1)a)/sin(na) k=-sin((n-1)a)/sina e m=k/t (k>0 t>0 m>0)
la cui soluzione della variabile r, unica per r>0 n quanto intersezione tra retta e "parabola" di grado n, permette di individuare l'angolo cercato.
Iterando la forma r=(k-mr)^(1/n) partendo dal seme r=1 si può convergere rapidamente alla soluzione con l'approssimazione desiderata.

Il caso particolare del triangolo isoscele si ha uguagliando gli angoli:
c=(n-1)a-180 b= - na+360
da cui si ricava a=540/(2n-1)

Tab.3
Ecco al variare di n da 3 a 15 i limiti, inferiori e superiori, per gli angoli della poligonale logaritmica e il valore intermedio per cui si può ottenere, con un opportuno valore di r, un triangolo isoscele.

n	180/(n-1)	540/(2n-1)	360/n
3	90	108	120
4	60	77.1	90
5	45	60	72
6	36	49.1	60
7	30	36	51.4
8	25.7	31.8	45
9	22.5	28.4	40
10	18	25.7	36
11	16.4	23.48	32.7
12	15	21.6	30
13	13.85	20	27.7
14	12.85	18.6	25.71
15	12	17.4	24

7 Gnomone.
La classe dei poligoni che abbiamo considerato hanno un'importante proprietà, quella di rigenerare la sua forma ad ogni aggiunta (o sottrazione) di triangolo. Questo, in termini moderni, ci ricollega alle proprietà di autosomiglianza dei frattali ma anche ad un concetto oggi, a torto, forse, un po' trascurato ma che era caro ai matematici dell'antica grecia, quello di gnomone.
Secondo la definizione di Erone di Alessandria ,infatti, uno gnomone è qualsiasi figura che , aggiunta ad un altra, conserva la similitudine tra la figura risultante e quella originaria.

Figg.16-24 Come si vede il triangolo che aggiunto al poligono dà un poligono simile è lo gnomone di quel poligono. Ciò permette un accrescimento regolare perpetuo.in grado di tassellare il piano con una serie geometrica di triangoli simili cioè con una tassellazione logaritmica.

8. Tassellazioni con una serie di triangoli aurei

Fig.25 Triangolo aureo e spirale logaritmica

Nella letteratura matematica divulgativa, a proposito del numero aureo phi=(1+rad(5))/2, si trova spesso la costruzione della spirale logaritmica mediante scomposizione del triangolo isoscele acuto, detto aureo, avente phi come rapporto tra lato obliquo e base e i cui angoli sono 36°, 72°, 72°.
Tracciando la bisettrice di uno dei due angoli alla base si ottiene, nel ruolo di gnomone la cui sottrazione riproduce la figura originale, un triangolo aureo ottuso con angoli 36° 36° 108° avente phi come rapporto tra base e lato obliquo.

Questa costruzione corrisponde al caso di una poligonale logaritmica con angolo di rotazione alfa=108 fattore di riduzione r=1/phi (61.8...%). E' il caso del triangolo equilatero previsto dalla precedente tabella per n=3.
Come mostreranno le prossime immagini continuando la costruzione il triangolo aureo ottusangolo può tassellare il piano.

Analizzando tutte le possibilità alla luce della precedente tabella (tab.3) si vede che ci sono altri due differenti modi, tre in totale, per tassellare il piano con una serie dello stesso triangolo aureo ottusangolo:

Fig.26 n=3 alfa=108 r=62% circa

Fig.27 n=7 alfa =36 r=60% circa

Fig.28 n=9 alfa=36 r=95% circa

L'altro triangolo aureo, quello classico acutangolo, invece può tassellare il piano con una sua serie geometrica in due soli modi:

Fig.29 n=4 alfa=72 r=54% circa

Fig.30 n=8 alfa=36 r=84% circa

9. Tassellazione logaritmica di triangoli equilateri

per n=5 alfa=60 r=75% circa

esattamente r è la soluzione reale dell'equazione
x⁵=1-x ossia l'intersezione della retta y=1-x con il monomio di quinto grado y=x⁵

Fig.31

Fig.32 a lato

Fig.33 n=3 alfa=118 r=94% circa

Fig.34 n=4 alfa=88 r=96% circa

Fig.35 n=5 alfa=70 r=97% circa

Da notare che, per quanto visto, il poligono che si rigenera, di cui il triangolo tassellante è gnomone, non può essere un poligono regolare perchè per questo dovrebbe essere l'angolo esterno, che è anche l'angolo di rotazione della poligonale, alfa=360/n che è, invece, il limite superiore non ammesso dato che, in corrispondenza, il triangolo degenera a causa di un suo angolo che va a zero.
Andando però solo vicini a tale limite, angolo esterno dei poligoni regolari, che è 120 per il triangolo, 90 per il quadrato e 72 per il pentagono, si osservano poligoni molto prossimi a quelli regolari la cui sfasatura fa emergere n poligonali logaritmiche di angolo di rotazione beta e fattore di riduzione rⁿ come si vede, sopra, in figura.

10. Altri casi particolarmente armonici.
Un caso particolare (Fig.36) che mi pare degno di nota e che può risolversi agevolmente mediante le funzioni elementari è quello in cui n=3 e t=1/r
Si ottiene, infatti,in questo caso, sostituendo il valore di t,
c=ar³/(1-r²)
inoltre dato che, come sempre quando n=3, il triangolo formato dagli gnomoni accumulati è isoscele si ha
a₀=a₂+c₀da cui a=ar²+cr   c=a(1-r²)/r
confrontando i valori di c si ottiene l'equazione
r⁴=(1-r² )² da cuir²=1/2   r=1/radq(2)
si ottiene poi facilmente che
alfa=180-arctan(radq(7))    pari a circa 110.7 gradi

Questa figura ricorda la costruzione tradizionale con il triangolo aureo (vedi fig25) ma qui il rapporto tra base e lato obliquo non è l'inverso di phi (62%circa) ma radice di due (70% circa).

Ecco infine altri tre casi, che potremmo chiamare armonici, in cui t=1/r e, quindi, i triangoli tassellanti sono l'immagine speculare di quelli che si ottengono congiungendo i lati della poligonale logaritmica con il punto di convergenza (vertice-vortice).

Fig.37 n=4 alfa=79.7 circa r=77% circa

Fig.38 n=6 alfa=50.9 circa r=84% circa

Fig.39 n=14 alfa=19.4 circa r=93% circa

11. Gli studi di Escher

Una volta trovati i risultati esposti ho cercato un collegamento con l'arte di Mauritius Cornelius Escher (1892-1972) che, nei i suoi lavori , approfondì la divisione regolare del piano non solo nel caso di figure uguali ma anche in quello di figure simili. Nelle ricerche che ho potuto effettuare non ho trovato però traccia del caso specifico da me considerato, né nelle sue opere né nei suoi quaderni. In questi ultimi ho invece trovato, come mostrato in figura 40i, traccia di studi riguardanti il caso della divisione regolare del piano con una serie, ripetuta caledoiscopicamente, di triangoli simili.

Fig.40 (sopra) Uno studio di Escher sulla divisione regolare del piano con triangoli simili. Dai suoi quaderni 1941-1942 [Doris Shattschneider 1992]

Fig.41-42-43 e 44 La sequenza dei quattro disegni mostra come dalla tassellazione del piano con una serie geometrica di triangoli simili, modificando in modo simmetrico, a due a due, alcuni tratti del triangolo si possano ottenere figure di fantasia, tra loro simili, con cui, in un interminabile spirale logaritmica tassellare il piano.

g.p. Gennaio 2005