Ultimo aggiornamento: 16/03/2010

Midhat Gazalé, “IL NUMERO - Dalla matematica delle Piramidi all’infinito di Cantor”, Titolo originale: “Number. From Ahmes to Cantor”, Traduzione di Elena Ioli, Edizioni Dedalo, 2001 (Pagine: 338 Indice escluso)

Nella Prefazione l’autore scrive: “[…] La presente opera si apre con uno studio delle nozioni fondamentali soggiacenti all’acquisizione e alla registrazione del numero, come l’operazione di corrispondenza, o concezione cardinale, e quella di conteggio, o concezione ordinale. Segue un resoconto storico-matematico di tre sistemi di numerazione dell’antichità, e cioè il sistema additivo egiziano e i sistemi posizionali maya e mesopotamico. Successivamente, vengono esaminati i due sistemi attualmente in uso, quello decimale Indiano-Arabo e il sistema binario.

Viene poi offerta una dettagliata descrizione dei sistemi di numerazione posizionali misti e uniformi. L’obiettivo è quello di smentire la convinzione che la famiglia a cui appartengono i sistemi di numerazione decimale e binario, quella dei sistemi posizionali uniformi, sia l’unica possibile. […]

Una volta consolidate le fondamenta della scrittura con notazione posizionale, nel capitolo seguente viene preso in esame il concetto di divisibilità, nella sua correlazione con la numerazione posizionale. Le domande alle quali è mia intenzione tentare di dare risposta sono le seguenti: Perché la rappresentazione posizionale dei numeri irrazionali non è periodica? In che modo si può predire il periodo dei numeri razionali? A questo proposito, viene spiegato il teorema di Eulero, ed è dedicato un particolare impegno pedagogico alla presentazione di risultati piuttosto ardui della teoria dei numeri in una forma abbondantemente illustrata. […]

Colgo l’occasione poi per presentare una personale generalizzazione del teorema di Eulero, utilizzata per spiegare il carattere periodico delle rappresentazioni dei numeri razionali. Il capitolo si conclude con uno studio dei numeri ciclici e delle sequenze di zero e uno, insieme ai numeri primi di Mersenne.

Il capitolo quarto si sofferma sulla nozione di numeri reali, e offre una sommaria presentazione delle definizioni di Frege-Russell e Peano, e della visione intuizionistica di Brouwer. Segue poi uno studio del dominio di integrità, e un approccio assiomatico alla costruzione del campo dei numeri razionali.

Per preparare il lettore allo studio dei numeri irrazionali, viene esaminato in primo luogo il teorema di Pitagora, poiché conduce alla famosa dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2, solitamente attribuita a Euclide. La Scala di Teodoro di Cirene viene presentata come illustrazione di un’equazione diofantea particolarmente importante (equazione di Pell).  Viene poi fornita una semplice presentazione della Schnitt (sezione) di Dedekind, insieme con la storica definizione dei numeri irrazionali fornita da Eudosso.

Il capitolo successivo introduce il lettore all’argomento spesso trascurato delle frazioni continue, per prepararlo alla nozione che verrà presentata successivamente, quella di linea di frattura.

Il capitolo riguardante le «fratture» costituisce un contributo originale che illustra dal punto di vista grafico sia l’assioma di Eudosso, che la Schnitt di Dedekind, tentando di fare luce sulla misteriosa natura dei numeri irrazionali. Strada facendo, vengono esaminate alcune proprietà misconosciute delle frazioni. Si tratta delle frazioni generate dal poco noto ma affascinante. albero di Stern-Brocot

L’ultimo capitolo affronta il difficile argomento dell’infinito.

Dopo uno studio elementare della convergenza, vengono presi in esame alcuni paradossi dell’infinito: l’hotel di Hilbert, i paradossi di Zenone, e altri ancora. Seguono una discussione del metodo di esaustione, e un’esposizione del dibattito fra i sostenitori dell’infinito attuale (Cantor), e gli aristotelici. La teoria di Cantor viene spiegata in maniera elementare, attraverso metafore di carattere geometrico e non.”