Ultimo aggiornamento: 24/08/2004
 

Hugo Steinhaus, “CENTO PROBLEMI DI MATEMATICA ELEMENTARE“, a cura di Franco Conti, Superuniversale Boringhieri, 1987

Nella prefazione, Franco Conti precisa come sono nati i cento problemi raccolti in questo libro: in una Polonia che stava lentamente risorgendo dalle ceneri della seconda guerra mondiale, “un gruppo di valenti matematici, giovani e meno giovani” si occupava, in modo spontaneo, di preparare alcune semplici riviste di problemi matematici, rivolte a studenti e a insegnanti di scuola secondaria; e ancora rubriche di problemi elementari erano ospitate da alcune prestigiose riviste di matematica, come «Collectanea mathematica». Animatore di tale gruppo (che comprendeva fra gli altri Kuratowski, Mazur, Sckauder, Sierpinski) era Hugo Steinhaus […] Steinhaus ha apportato molti contributi importanti a diversi settori della matematica, dalla teoria delle serie trigonometriche al calcolo della probabilità, dalla teoria dei giochi al calcolo numerico; si devono a lui, ad esempio, la prima definizione precisa del concetto di indipendenza stocastica, così come quello di strategia in teoria dei giochi; la prima nozione influenzò certamente l’assiomatizzazione di Kolmogorov del calcolo delle probabilità, mentre la seconda precedette di pochi anni l’organica teoria dei giochi di von Neumann…”

Questo libro, frutto dell’attività sopra descritta, apparve in Polonia nel 1958 col titolo “Sto zadan” e successivamente ne furono curate le edizioni russa e inglese. “L’autore, grande matematico con la rara dote di una scrittura semplice e fluida, si è posto come intento non solo di proporre a insegnanti e studenti nuovi spunti curiosi e divertenti per le loro attività di studio”, ma anche di riuscire ad avvicinare alla matematica quei lettori non entusiasti di tale disciplina, memori, forse, di un insegnamento scolastico spesso arido, ripetitivo, tedioso.

Il motivo che ha indotto Franco Conti a ritenere importante far conoscere i cento problemi al pubblico italiano è il seguente: “In Italia…ben poche proposte innovative riescono a uscire dal chiuso delle associazioni o dalle aule dei convegni e a raggiungere la maggioranza dei giovani e degli insegnanti…”

I problemi proposti nel testo sono di vari argomenti e di varia difficoltà; nella prima parte vengono esposti gli enunciati, nella seconda si trovano le risoluzioni e i commenti.

I quesiti sono suddivisi nei seguenti capitoli:

1)     Problemi su numeri, disequazioni e disuguaglianze

2)     Problemi su punti, poligoni, circonferenze ed ellissi

3)     Problemi nello spazio, poliedri e sfere

4)     Problemi pratici e meno pratici

5)     Problemi sulla scacchiera, i tornei, gli inseguimenti

6)     Le avventure matematiche del dottor Abracadabrus

7)     Altri problemi

Sono particolarmente originali i quesiti del quarto e del quinto capitolo, perché traggono spunto da oggetti e da situazioni concrete di vario tipo; cito il titolo di alcuni: “Un prosciutto per il pic-nic”, “Divisioni in parti di una torta”, “Pesate”, “Quanti pesci ci sono nello stagno?”, “Come si misura un pistone”, “Orologio con lancette uguali”, “Problema fra giganti e nani”, “Fumatori e no”, “Gruppi sanguigni”, “Suddivisione di appezzamenti”, “Pedine su una scacchiera”, "Classifica di un campionato”, “Torneo”, “Inseguimento” e “Il motoscafo dei contrabbandieri”.

Gli otto problemi del sesto capitolo sono di tipo enigmistico e tratteggiano ironicamente la figura immaginaria del dottor Abracadabrus, saccente professore di matematica.

Nel settimo capitolo sono presentati tredici problemi, senza rivelarne la risoluzione.

Franco Conti conclude la sua prefazione con le seguenti parole: “Il lettore è naturalmente invitato a trovare soluzioni differenti da quelle pubblicate, tenendo presente però che ben di rado si riesce a trovare rapidamente e senza sforzo la soluzione di un problema interessante; il più delle volte occorrono grande impegno e lungo lavoro intellettuale. Spero che la lettura attiva di questo libro di Steinhaus possa però convincere che la soddisfazione e il piacere spirituale che se ne ricavano riescano a ripagare ampiamente ogni matematica fatica.”

AGGIORNAMENTO 24/08/2004 - Trascrivo il testo di due interessanti problemi; il primo si trova nel capitolo quarto e il secondo nel capitolo settimo del libro di Hugo Steinhaus 

1) L'età della signora Z

La signora Z non è molto giovane, perché è nata tra le due guerre mondiali, ma, come tutte le donne, non vuole rispondere direttamente a domande sulla sua età. Alla domanda rivoltale il 27 luglio 1950, in occasione del quarto anniversario di matrimonio, rispose: "Ho solo un anno, perché festeggio il mio compleanno solo quando cade nel giorno esatto della settimana, e questo è accaduto una sola volta nella mia vita. 

Quanti anni ha la signora Z?

2) Bacilli

Il dottor Abracadabrus ha scoperto un tipo di batteri a forma di bastoncino che si riproducono in uno strano modo. Dal bacillo originario si stacca una parte che diventa un bacillo indipendente; esso è più corto della parte restante, cosicché vi sono due individui di diverse lunghezze. A questo punto dal bacillo più lungo si stacca un nuovo individuo uguale al più corto dei due, e il processo continua finché il residuo del bacillo originario è più corto di ogni parte staccata. Successivamente da uno dei bacilli più lunghi si stacca una parte lunga quanto il più piccolo dei bacilli già esistenti. Questa regola è sufficiente a descrivere l'intero processo di moltiplicazione, ma dobbiamo ricordare che ad ogni istante vi è al più un solo bacillo che si divide.

Dimostrare che:

1) In ogni istante, nella colonia dei bacilli, ci sono al più tre lunghezze diverse.

2) Se la prima divisione è in parti che stanno in rapporto irrazionale fra loro, allora ci saranno ogni tanto solo due lunghezze e ogni tanto tre lunghezze differenti.

3) É possibile una divisione iniziale che dà un rapporto tra le lunghezze che si conserva in tutte le divisioni successive.