Ultimo aggiornamento: 11/02/2005
 

Doris Schattschneider: "VISIONI DELLA SIMMETRIA - I disegni periodici di M.C.Escher", 1992 Italia, Zanichelli

Ringrazio Giorgio Pietrocola, che ha segnalato questo volume, commentandolo così: "Il libro di Doris Schattschneider, direttrice del dipartimento di matematica al Moravian College di Betlehem in Pensiylvania, riproduce integralmente tutti i disegni periodici numerati e i due quaderni di M.C. Escher degli anni 1941-1942.
In questi quaderni Escher esplorò la divisione regolare del piano descrivendo la sua "teoria profana", cioè il sistema che aveva elaborato per classificare i suoi disegni. Nonostante questa sua teoria non volesse essere un sistema alternativo per spiegare la divisione regolare del piano ma solo uno strumento per il proprio lavoro, Escher trattò l'argomento in modo più completo di quanto avessero fatto matematici e cristallografi prima di lui.
Le 350 illustrazioni che compongono il libro sono accompagnate dall'analisi critica dell'autrice che è il risultato di una ricerca durata molti anni. Il libro introduce alle "regole del gioco" attraverso l'eccezionale storia di un artista affascinato dal ritmo e dalle forme ripetute che, dopo i primi tentativi ingenui e frustranti di creare figure a incastro, ha cercato e trovato nella matematica la chiave per alimentare il suo tenace desiderio di comprenderne le leggi.

Doris Schattschneider è associata al progetto di geometria visiva che ha prodotto The Geometer's Sketchpad (concorrente del più noto Cabri géomètre)"

Per visionare due immagini, una tratta dal libro, l'altra creata da Giorgio, CLICCATE QUI e QUA

AGGIORNAMENTO (05/08/2004) Ringrazio ancora Giorgio Pietrocola, che presenta altre sue animazioni, scrivendo: 

"Prima animazione: Ecco le spirali logaritmiche emergenti, tassellando un piano con triangoli simili.   CLICCATE QUI

Seconda animazione: La particolarità dei triangoli simili, in questo caso, è che sono anche isosceli."    CLICCATE QUA

 

Ringrazio nuovamente Giorgio Pietrocola, che con il logo ha creato cinque particolari e originali animazioni, presentandole così: <<Dai miei studi sulla divisione periodica del piano con figure simili, iniziata proprio dalla lettura del libro della Shattschneider e dalla successiva maturata convinzione che Escher non fosse a conoscenza della ricchezza di possibilità che questa implicava, risulta che esistono 5 tassellazioni del piano con una serie geometrica di triangoli aurei simili:

DUE riguardano il triangolo isoscele acutangolo: 36°; 72°; 72° 
 (per visionarle,  CLICCATE QUI  e  QUA )
eTRE quello ottusangolo: 108°; 36°; 36°
( per visitarle,  cliccate su  PRIMA TASSELLAZIONE ,  SECONDA  e  TERZA )
Appello
Se qualche lettore fosse a conoscenza di studi (o di esempi) di divisione regolare del piano con una serie geometrica di triangoli simili farebbe cosa gradita segnalandoli a giorgio.pietrocola@istruzione.it
Nota1
Dato che, per motivi di simmetria, phi (1.618...) e il suo reciproco sono numeri ugualmente interessanti si possono considerare come triangoli aurei non solo quello isoscele acutangolo  (36°; 72°; 72°) ma anche il suo gnomone isoscele ottusangolo (108°; 36°;36°). Del resto, anche volendosi limitare al classico phi, quello che nel primo triangolo è il rapporto tra lato obliquo e base nel secondo è il rapporto tra base e lato obliquo. Insomma, se l'acutangolo è aureo, non si vede perché non debba essere altrettanto nobile anche l'ottusangolo, suo gnomone.
Nota 2
In questa opera di Escher, VORTICI (pag 250 del libro di Doris Schattschneider), le figure decrescono in progressione geometrica, mentre si avvicinano al vortice ma, per ora è l'unico caso che ho trovato di avvicinamento a spirale (senza simmetria centrale) verso un punto di convergenza e non mi pare che sia riconducibile alla tassellazione del piano con triangoli simili, da me considerata.

Nota 3

Si ricorda che secondo la definizione di Erone di Alessandria , uno gnomone è qualsiasi figura che , aggiunta ad un altra, conserva la similitudine tra la figura risultante e quella originaria.

Il concetto di gnomone è stato approfondito da Paolo Zellini nel suo libro "Gnomon"  (ne troverete una recensione QUI )>>

Ringrazio anche Angelo Sciandra, che offre un esempio semplice e chiaro del triangolo isoscele aureo ( potrete vederlo,  CLICCANDO QUI )

AGGIORNAMENTO (06/08/2004)

Giorgio Pietrocola, che ringrazio di nuovo, presenta altre due animazioni, commentando come segue: «Si tratta sempre di tassellazione del piano, ma non con un' unica serie di triangoli simili come visto precedentemente, ma con una serie ripetuta (dieci volte) caleidoscopicamente.

Nella prima animazione è "acutangolo aureo" a tassellare il piano e fa lo gnomone. "Ottusangolo aureo" è presente, ma un po' nascosto (per vedere l'animazione, SI CLICCHI QUI )

Estendendo la tassellazione del piano a serie ripetute di triangoli simili, c'è anche questa ultima possibilità (per visionare tale seconda tassellazione, CLICCATE QUA), che probabilmente Escher conosceva, perché in uno dei disegni dei suoi quaderni, che ho precedentemente pubblicato QUI , usa la stessa tecnica di congiungere i punti medi di un poligono regolare, ma lo fa con il quadrato invece che con il pentagono.

La mia congettura è che con le serie geometriche di triangoli aurei simili, unici o ripetuti, non ci siano altre possibilità, oltre le sette che ho trovato.»
 

AGGIORNAMENTO (05/02/2005)

Giorgio Pietrocola, che continuo a ringraziare, ha provveduto all'aggiornamento di questa pagina web mediante questa  tabella che collega a quattro splendide animazioni che sviluppano lo studio dei quaderni di Escher (qui):
 

Divisione regolare del piano con figure simili, la cui forma e i cui contenuti diminuiscono ritmicamente di grandezza a mano a mano che si avvicinano al centro. Cliccare sulle quattro icone in espansione a lato per vedere le corrispondenti animazioni ingrandite in perpetua contrazione.
AGGIORNAMENTO (11/02/2005) - Ringrazio nuovamente Giorgio Pietrocola, che ha aggiornato questa sua pagina web e che scrive:
«In un articolo pubblicato su questa rubrica (qui) introducevo un concetto, quello di poligonale logaritmica, che è, in sostanza, un'approssimazione discreta della spirale logaritmica verso cui converge. Questo concetto maturato dalla pratica del linguaggio della tartaruga, si è poi rivelato, a mio avviso, estremamente utile per comprendere e descrivere  la tassellazione del piano con figure geometriche simili.
Le tre nuove animazioni qui presentate (vedi  icone animate sottostanti) hanno lo scopo di evidenziare questo legame profondo tra gli studi di tassellazioni con figure simili e le poligonali logaritmiche.
Nella prima animazione mediante otto poligonali logaritmiche, metà  destrorse e metà sinistrorse, si ottiene il primo degli studi di Escher precedentemente presentato  (e quindi anche il terzo ottenibile dal primo per suddivisione di triangoli). In una sorta di tarantella le quattro spirali destre e le quattro sinistre si congiungono, infatti, per ottenere i quadrati di Escher.
La  seconda e la terza animazione mostrano poi  il legame tra le poligonali logaritmiche e la tassellazione caledoscopica del piano con triangoli aurei già da me presentata nell'aggiornamento del 6/8/2004.  In particolare, nella seconda 10 poligonali logaritmiche concorrono a tassellare il piano con triangoli aurei acutangoli.  Nella terza ed ultima  20 poligonali logaritmiche concorrono a formare la tassellazione del piano con triangoli aurei ottusangoli.»
Per vedere le animazioni cliccare sulle tre icone animate sottostanti: