Un’introduzione al concetto di "dimensione frattale"

(Una ricerca da parte di Ivana Niccolai, svoltasi nell'ambito della ricerca-azione: metodi per lo studio dei frattali, promossa dall'OPPI e coordinata da Adalberto Codetta)

Desidero prioritariamente sottolineare il concetto di autosimilarità.

Molte forme naturali rivelano innumerevoli sequenze di motivi che, ripetendosi, formano motivi uguali a loro stessi, ma su un’altra scala (es.una piccola parte del cavolfiore continua ad assomigliare a un cavolfiore intero…)

La natura è piena di forme che si ripetono su scala diversa nello stesso oggetto.

Un frammento di roccia ha una forma che ricorda quella della montagna da cui l’abbiamo staccato.

La matematica dei frattali si occupa della relazione tra le strutture dell’intero e quelle delle sue parti.

Come stabilire la dimensione di un oggetto con una struttura frattale?

Nella geometria euclidea tutti gli oggetti hanno un numero di dimensioni espresso da un numero intero: i punti non hanno dimensione, le linee rette hanno una dimensione, le figure piane hanno due dimensioni, i solidi hanno tre dimensioni.

La curva di Koch, invece, è una particolare curva frattale ed è situata tra una e due dimensioni.

Per la costruzione di modelli "più fedeli" di elementi della natura può essere necessario il ricorso a manipolazioni "random" di frattali autosimili.

Ad esempio, se viene seguito il procedimento iterativo che porta alla curva di Koch, ma ad ogni passo la parte, che sostituisce il segmento centrale "eliminato", si posiziona al di sopra o al di sotto del segmento stesso in base al lancio di una moneta, si ottiene una configurazione più irregolare, che può offrire l'idea del profilo di una costa.

(L'immagine è stata tratta dalla relazione ""Come strutture numeriche, armonia e bellezza in natura e nell'arte possano incontrarsi"di Grazia Tamone)

Alla domanda: “Quanto misurano le coste della Gran Bretagna?”, Mandelbrot risponde che la lunghezza dipende dallo strumento di misura.

Ogni volta che si riduce la lunghezza dello strumento di misura, la lunghezza della costa aumenta, perché si può tenere conto di sinuosità sempre più piccole.

Ponendo l’attenzione sulla costa orientale degli Stati Uniti, essa sembra una linea liscia della lunghezza approssimativa di 4.000 Km. La stessa costa, disegnata su un atlante, appare molto più frastagliata. Quando si aggiungono le lunghezze dei capi e delle baie, la lunghezza complessiva diventa circa 7.000 Km. Se passiamo a una scala minore, troviamo una curva estremamente complessa, lunga quasi 20.000 Km.

Una persona che percorresse a piedi la costa, dovrebbe percorrere quasi 25.000 Km per compiere il viaggio. E una formica che intendesse compiere la stessa spedizione, dovrebbe forse percorrere 50.000 Km. Altri viaggiatori, ancora più piccoli, potrebbero trovarsi a compiere un percorso ancora più lungo…

In conseguenza dell’auto-somiglianza, il semplice concetto di lunghezza non fornisce più un’adeguata misura della lunghezza vera.

Diversamente dalle curve della geometria euclidea, che quando vengono ingrandite diventano linee rette, le pieghe frazionarie delle linee costiere, delle montagne e delle nuvole non scompaiono quando ingrandiamo la scala. Se la lunghezza di una linea costiera viene misurata con regoli di misura sempre più corti, la sua lunghezza cresce indefinitamente.

Mandelbrot non riuscì a trovare una risposta alla domanda "Quanto misurano le coste della Gran Bretagna?", ma cercò di definire un numero frazionario (compreso tra 1 e 2) che identificasse il frastagliamento della costa.

Più la linea della costa è frastagliata (irregolare), più tale numero frazionario (che Mandelbrot ha chiamato "dimensione frattale") si avvicina a 2.

La geometria frattale intende sia mostrare che la geometria euclidea non riesce a rappresentare determinati aspetti della realtà sia fornire ai matematici un nuovo metro per misurare ed esplorare la natura..

Fissiamo l’attenzione sul fiocco di neve di Koch: si parte da un triangolo equilatero con il lato, ad esempio, di un centimetro, (vedi fig.1) poi si divide ogni lato in tre parti uguali e si sostituisce la parte centrale di ogni lato con due segmenti che misurano 1/3 di centimetro e che s’incontrano formando un angolo di 60° (vedi fig. 2)

                                                                                    fig. 1                                     fig. 2

mentre il perimetro del triangolo di partenza era di 3 cm, dopo nella stella di David (che viene a formarsi) il perimetro consiste di 12 segmenti di 1/3 di cm ed è quindi uguale a 4 cm.

3^d = 4

d = log 4/log 3

Cerchiamo di analizzare il concetto di dimensione frattale. E' stato Felix Hausdorff a introdurre tale concetto.

L’idea di dimensione frazionaria, o frattale, è un’estensione del concetto di dimensione normalmente usato per descrivere gli oggetti ordinari, regolari, come, ad esempio, i quadrati e i cubi.

L’idea consiste nel calcolare quante unità di grandezza p sono necessarie per coprire un oggetto più grande di grandezza P.

Nel caso di un segmento di retta, lungo per es. 8 metri, occorrono 8 lunghezze da 1 metro per coprire l’intera linea. Se l’unità di misura fosse lunga 10 cm, ne occorrerebbero 80 per coprire la distanza di 8 metri. Il rapporto tra i due risultati, 80 e 8 è 10 : 1, o 10¹, che è il rapporto tra i regoli di misura, che erano lunghi rispettivamente 1 metro e 10 cm.

L’esponente "1" corrisponde alla dimensione di una linea.

Analogamente, nel caso di un’area, un quadrato di 1 metro entra 8 volte in un’area di 8 metri quadrati, mentre un quadrato di 10 cm per 10 cm entra nella stessa area 800 volte.

Il rapporto tra i due risultati, 800 e 8, è 10²

Anche il rapporto tra le aree unitarie è 10² e l’esponente 2 corrisponde alla dimensione normalmente associata all’area.

L’intero processo di determinare la dimensione di un oggetto può essere trasformato nell’operazione matematica di calcolare il logaritmo del rapporto corretto.

Triplicando il lato di un quadrato si ottiene un nuovo quadrato contenente 9 dei quadrati di partenza:

log9/log 3 = 2

quindi il quadrato è bidimensionale.

Raddoppiando lo spigolo di un cubo si ha un nuovo cubo che contiene 8 dei cubi di partenza. La sua dimensione è:

log 8/log 2 = 3

quindi il cubo è tridimensionale.

In generale, per ogni oggetto frattale di grandezza P, costituito di unità più piccole di grandezza p, il numero N di unità che si possono far entrare nell’oggetto è il rapporto tra le grandezze elevato a una potenza d, detta dimensione di Hausdorff. In termini matematici, questo si può scrivere come:

log N/log (P/p)

Nel caso del fiocco di neve di Koch, ogni volta che l’unità di misura viene ridotta a 1/3, il numero di segmenti visibili aumenta di 4 volte; quindi:

N = 4

P/p = 3

Quindi:

3^d = 4

d= log 4/log 3

Possiamo esprimere lo stesso concetto con altre parole, con altri simboli  e con altri esempi

Dividendo a metà una linea si ottengono due segmenti (con un fattore di riduzione f uguale a ½)

Nel quadrato con f =1/ 3 (cioè dividendo il lato del quadrato in tre segmenti uguali, si ottengono 3² = 9 sotto-quadrati…

Si constata che c’è una relazione tra il numero di oggetti prodotti, n, il fattore di riduzione, f, e la mono-bidimensionalità…Tale relazione è espressa dalla formula  

n=(1/f)^d

ESEMPI:

Nell’insieme di Cantor:  

n = 2

f = 1/3

2 = 3^d

Nel tappeto di Sierpinski: 

n = 8

f = 1/3

8 = 3^d

Nella spugna di Menger

n = 20

f = 1/3

20 = 3^d

Insomma, pare che la dimensione di uno spazio possa essere definita mediante una semplice formula algebrica e questo permette di generalizzare il concetto di spazio, introducendo gli "spazi frattali", la cui dimensione non è più espressa da un numero intero.

Concludo tornando a ribadire lo stesso concetto a cui ho accennato in precedenza, questa volta ricorrendo alle parole e ai simboli usati da Giuseppe Arcidiacono per definire il concetto di dimensione: se un segmento (linea di dimensione d = 1) viene diviso in N° = k parti uguali,  esso sarà formato da N = k segmenti più piccoli. Analogamente, se si dividono i lati di un quadrato (di dimensione d = 2), esso sarà formato da N = k² quadratini. In generale, se gli spigoli di un cubo, a diverse dimensioni, vengono divisi in k parti uguali, esso sarà decomposto in cubi più piccoli e si ha:

N° = k

N = kⁿ

Ne segue che la dimensione d di tali figure può essere definita con la formula:

d = (log N)/(log N°) = (log kⁿ )/log k = (n log k/(log k) = n

Si calcola, quindi, la dimensione ad esempio dell'insieme di Cantor, applicando la formula appena scritta: al primo passo si ha N = 3 e si prendono 

N = 2 segmenti; dopo m passi della costruzione si ha: N° = 3^m

N = 2^m

Si ha quindi la dimensione:

d = (log 2^m)/(log 3^m) = (log 2)/(log 3) = 0,630929754

Sentitamente ringrazio Dino Liberatore e Giorgio Pietrocola per i loro consigli e per le nostre costruttive discussioni.

BIBLIOGRAFIA

Ivars Peterson, "IL TURISTA MATEMATICO - Un viaggio nella moderna scienza dei numeri", Traduzione di Riccardo Valla, Rizzoli, 1991
Mario Livio, "LA SEZIONE AUREA - Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni", Traduzione di Stefano Galli, Rizzoli, Prima edizione: 2003

Piergiorgio Odifreddi, "LA MATEMATICA DEL NOVECENTO" (Dagli insiemi alla complessità) , Piccola Biblioteca Einaudi, 2000

Giuseppe Arcidiacono, “SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI - Il magico mondo della geometria”, Di Renzo Editore, 2004
Relazione di Grazia Tamone,"Come strutture numeriche, armonia e bellezza in natura e nell'arte possano incontrarsi"