Il nostro immaginario ipertappeto sierpinskiano

«Sai, per essere un matematico non aveva abbastanza immaginazione; ma ora è diventato un poeta e se la cava davvero bene...» (Hilbert, riguardo a un vecchio studente)

Premessa: Sono convinta che gli alunni potranno amare la matematica, se l’insegnante sarà interessato, se per primo si metterà in gioco, se saprà incuriosirsi di fronte ad argomenti non ancora approfonditi, se vorrà chiedere la collaborazione dei colleghi per un apprendimento "sociale", se cercherà REALMENTE lui stesso di esplorare nuovi mondi matematici, dando l’esempio di chi s’impegna nel cercare di SCOPRIRE DAVVERO relazioni, non ancora note, tra determinati concetti, senza limitarsi a fare in modo che siano soltanto gli alunni a scoprire da soli formule varie, che l’insegnante conosce già perfettamente…

Longum iter est per praecepta, breve et efficax per exempla (Seneca) 
Seguendo tale ordine di idee, ho affrontato lo studio dei frattali e ho provato a lasciare libera la mia "immaginazione" in ambito matematico...

 

È innegabile l'analogia tra il tappeto di Sierpinski, l'insieme di Cantor e la spugna di Menger.

Consideriamo un quadrato di lato unitario e dividiamo tale lato in tre parti congruenti;  dividiamo, quindi, il quadrato in 9 quadratini uguali e togliamo il quadratino centrale; ripetendo tale procedimento per ognuno degli 8 quadratini rimasti, e iterando all'infinito questa procedura, si ottiene il tappeto di Sierpinski, "infinitamente mangiato dalle tarme", la cui dimensione frattale è log8/log3 = 1,892789261...

Lo stesso procedimento può essere applicato a un segmento di retta unitario, dividendolo in tre parti congruenti ed eliminandone la parte centrale e ripetendo il procedimento si elimina la parte centrale di ciascuna delle due parti rimaste, finché il segmento non si riduce a una serie di frammenti privi di dimensione. Questo frattale è un esempio di "insieme di Cantor" e ha dimensione log 2/log 3 = 0,630929754

La medesima operazione può aver luogo in tre dimensioni; Partiamo da un cubo con il lato unitario e lo suddividiamo in 27 cubi più piccoli. Togliamo il cubo centrale e gli altri sei che si trovano al centro di ogni faccia (in tutto 7 cubi): continuando a ripetere tale procedimento, si ottiene la cosiddetta "spugna di Menger", che ha dimensione log 20/log 3 = 2,7266833028...

A questo punto mi sono chiesta se la medesima operazione può aver luogo in quattro dimensioni e ho immaginato l' "ipertappeto" (cioè l'analogo del tappeto di Sierpinski nella quarta dimensione).

Premetto che per "ipercubo" intendo il cosiddetto tesseratto, o tetracubo, o 4-cubo o 8-cella.

Ho esposto il problema sia nel forum di base 5 sia nel forum di PUNTOEDU e Alberto Brancatelli (che ringrazio sentitamente per la sua proficua collaborazione ) e io abbiamo immaginato la seguente possibile risoluzione, applicando il medesimo procedimento seguito nei casi precedentemente esposti.

Abbiamo dapprima considerato che nel tappeto di Sierpinski il perimetro tende a infinito e l'area tende a zero
nella Spugna di Menger la superficie tende a infinito e il volume tende a zero
nell'ipertappeto il volume tenderà a infinito e l' ipervolume tenderà a zero

Si è tenuto conto del fatto che le 24 facce quadrate dell'ipercubo formano soltanto lo "scheletro" dell'ipercubo stesso, così come gli spigoli di un cubo formano lo scheletro del cubo. Un cubo è limitato da facce quadrate e un ipercubo è limitato da facce cubiche, è delimitato precisamente da 8 cubi.

Nell'ipercubo le 3-facce sono otto cubi, le 2-facce sono 24 quadrati, gli spigoli sono 32 e i vertici sono 16. (In ogni vertice dell'ipercubo arrivano quattro spigoli, sei 2-facce e quattro 3-facce)

L'ipercubo ha simbolo di Schläfli (4, 3, 3), perché le facce sono cubi (4, 3) e le figure al vertice sono tetraedri (3, 3).

Suddividiamo l'ipercubo unitario in 81 ipercubetti; togliamo l'ipercubetto centrale e gli 8 ipercubetti che si trovano al centro di ogni faccia cubica (in tutto 9 ipercubetti); continuando a ripetere tale procedimento, immaginiamo di ottenere l'ipertappeto sierpinskiano, che avrà dimensione

 log 72/log 3 = 3,892789261...

Seguendo il medesimo ragionamento si può proseguire:
Calcolando il logaritmo di 232 in base 3 si ottiene la dimensione frazionaria "d" del pentatappeto di Sierpinski
d = 4,957834013
Calcolando il logaritmo di 716 in base 3 si ha la dimensione frazionaria dell'esatappeto di Sierpinski, che risulta = 5,983621551

Generalizziamo:

Per calcolare la dimensione frattale dei cubi a d dimensione (con d maggiore di 2), indichiamo con d la dimensione dello spazio (con d > 2) e con 2d il numero delle facce dei cubi a d dimensione (con d > 2): log [3d - (2d + 1)]/log 3

Pur effettuando alcune ricerche in vari testi, e anche in Internet, a noi non risulta che precedentemente sia stato preso in considerazione l'ipertappeto sierpinskiano, però abbiamo potuto ammirare il "Corpus Hypercubus" dipinto di Salvator Dalì, (di proprietà del Metropolitan Museum of Art), il quale ha utilizzato la seguente schematizzazione, che consiste di otto cubi, di cui quattro sono disposti uno sopra l'altro e gli altri quattro sono disposti intorno a uno dei due cubi centrali di tale pila:

(L'immagine è tratta dal libro "Forme- simmetria e topologia" di Maria Dedò)

 

occorre decisamente uno sforzo di immaginazione, per immaginare di "ripiegare" questo oggetto in una quarta dimensione, senza deformare i cubi, in modo da identificare fra loro a due a due i quadrati del bordo.

http://www.revilo-oliver.com/Kevin-Strom-personal/Art/Corpus_Hypercubus.html

Sempre rifacendosi al modello dell'ipercubo, descritto sopra, Robert Heinlein nel suo racconto di fantascienza "La casa nuova" in "Le meraviglie del possibile", ed Einaudi, Titolo originale: And he built crooked house (E costruì una casa distorta), immagina che un architetto californiano costruisca una casa a forma di ipercubo dispiegato, una versione rovesciata dell'ipercubo di Dalì. Quando un terremoto scuote la casa, essa si ripiega in un ipercubo cavo. Esso appare come un singolo cubo, poiché appoggia sul nostro spazio con la sua faccia cubica, proprio come un cubo di cartone ripiegato, appoggiato su un piano, apparirebbe, agli occhi degli abitanti di un mondo piatto, come un quadrato.

Dentro all'ipercubo si verificano fatti molto strani e dalle sue finestre si ammirano panorami non di questa terra, prima che la casa, scossa da un altro terremoto, precipiti del tutto fuori dal nostro spazio.

Un modello suggestivo di ipercubo, fatto di strisce d'alluminio colorate di bianco e di nero, e progettato per essere appeso come una scultura mobile, fu creato e costruito nel 1972 da Eytan Kaufman, di New York. Sotto il nome commerciale di Tesseract, esso fu venduto dal museo di arte moderna.

Invece l'architettura della Grande Arche a Parigi (inaugurata nel 1989 nel quartiere della Défense), è basata sul seguente diagramma di Schlegel dell'ipercubo:

(L'immagine è tratta dal libro "Forme- simmetria e topologia" di Maria Dedò)

 

 

da cui mancano (per consentire il passaggio nell'arco) il piccolo cubo centrale e due dei sei tronchi di piramide, uno davanti e l'altro dietro.

(L'immagine relativa a "La Grande Arche" è tratta dal libro "Forme- simmetria e topologia" di Maria Dedò)

 

Ringrazio con affetto Marialuisa Di Paola e soprattutto rivolgo i miei più sentiti ringraziamenti a Giorgio Pietrocola, (che mi sa sempre offrire utili consigli per i miei approfondimenti in ambito matematico), per l'approvazione accordata.

 

BIBLIOGRAFIA

Piergiorgio Odifreddi, "LA MATEMATICA DEL NOVECENTO", Giulio Einaudi editore s.p.a., Torino, 2000

Ivars Peterson "IL TURISTA MATEMATICO - Un viaggio nella moderna scienza dei numeri", Traduzione di Riccardo Valla, Rizzoli, 1991

Maria Dedò, “FORME –simmetria e topologia –“, 1999 Decibel editrice, Padova.

Giuseppe Arcidiacono “SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI - Il magico mondo della geometria”, Di Renzo Editore, 2004

Thomas F. Banchoff, “OLTRE LA TERZA DIMENSIONE – Geometria, computer graphics e spazi multidimensionali”, Traduzione di Antonio Caronia, Zanichelli editore, Prima edizione: ottobre 1993

Martin Gardner, "CARNEVALE MATEMATICO: da <<Scientific American>> nuovi problemi divertenti di logica e varia scienza",  Zanichelli, 1977