Ultimo aggiornamento: 15/06/2006

William S. Hatcher, “FONDAMENTI DELLA MATEMATICA”, (Serie di Logica Matematica diretta da Corrado Mangione), Titolo originale: Foundations of Mathematics, Traduzione di Maria Luisa Dalla Chiara Scabia, Boringhieri 1973

Questo volume, di 454 pagine, trae origine da una serie di conferenze che l’autore ha tenuto nel 1963, in occasione di un seminario di Logica all’Università di Neuchâtel, Svizzera. Tali conferenze sono state ampliate in un corso semestrale sui fondamenti della matematica tenuto all’Università di Toledo, Ohio. Nel libro sono presentati i problemi concernenti i fondamenti della matematica e lo scopo principale è quello di stabilire un confronto tra i diversi sistemi fondazionali.

I capitoli sono i seguenti:

1. Logica del prim’ordine 

2. L’origine degli studi moderni sui fondamenti della matematica 

3. Il sistema di Frege e i paradossi 

4. La teoria dei tipi    

5. La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel 

6. Il programma hilbertiano e i teoremi di incompletezza di Gödel 

7. I sistemi fondazionali di W. V. Quine 

8. L’algebra categoriale

Nella Prefazione si legge: “[…] Nel capitolo 1 sono presentati alcuni fondamentali teoremi della teoria dei modelli come, per esempio, i teoremi di completezza e di compattezza; questi vengono poi usati nel capitolo 6 dove nozioni sintattiche e nozioni semantiche si combinano nella dimostrazione del teorema di incompletezza di Gödel. Per ogni sistema formale si studiano contemporaneamente il problema dei suoi modelli e il problema dei teoremi che sono dimostrabili all’interno del sistema.

Alla presentazione della logica del prim’ordine nel capitolo 1 segue un breve capitolo di carattere storico. Il capitolo 3 descrive il sistema originario di Frege, presentato però in una notazione moderna, ossia come un sistema del prim’ordine con assiomi di estensionalità e di comprensione; all’interno di tale sistema viene sviluppata la teoria dei numeri, e subito dopo si dimostra il paradosso di Russell. Nei capitoli successivi si può poi constatare come l’originaria trattazione fregeana risulti modificata in ciascun diverso sistema fondazionale. Questo tipo di presentazione ha il vantaggio di dimostrare chiaramente come non sia possibile fondare la coerenza di un sistema sulla sua apparente naturalezza intuitiva. In ogni caso è importante rendersi conto del fatto che gli usi particolari del principio di comprensione, realizzati da Frege, non sono in sé necessariamente contraddittori, anche se lo è il principio generale.

Il capitolo 4 descrive diverse versioni della teoria dei tipi e i loro modelli: si sottolinea che il sistema della teoria dei tipi semplici è quello più adeguato rispetto allo spirito fondazionale moderno.

Nel capitolo 5 si dimostra la non contraddittorietà relativa alla teoria dei tipi semplici rispetto alla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Quest’ultimo sistema è l’argomento principale del capitolo 5, dove si studiano anche le più usuali varianti del sistema di Zermelo-Fraenkel, ossia i sistemi di von Neumann-Bernays-Gödel e di Mostowski-Kelley-Morse. Viene descritto poi il modello di von Neumann della teoria degli insiemi, allo scopo di giustificare intuitivamente la costruzione del sistema di Zermelo-Fraenkel.

Il capitolo 6 è dedicato ai teoremi di incompletezza di Gödel-Rosser di cui viene delineata la dimostrazione. 

Il capitolo 7 tratta i sistemi di Quine, soprattutto quello detto New Foundations (Nuovi Fondamenti). Viene discusso il risultato di Specker relativo all’assioma di scelta e al teorema dell’infinito. Sempre fondandosi sui risultati di Specker, si stabilisce un preciso rapporto fra il sistema New Foundations e la teoria dei tipi.