Ultimo aggiornamento: 11/09/2005

Martin Gardner, "CARNEVALE MATEMATICO: da <<Scientific American>> nuovi problemi divertenti di logica e varia scienza",  Zanichelli, 1977
AGGIORNAMENTO (09/09/2005)
Grazie alla segnalazione di Dino, ho letto anch'io questo libro e reputo particolarmente  interessanti sia il capitolo "Ipercubi" sia il capitolo "Stelle magiche e poliedri".

Tale lettura mi ha suggerito la preparazione della seguente tabella: 

La precedente tabella può essere prolungata per il 7-cubo, per l'8-cubo ecc.

Martin Gardner insegna le seguenti "strategie" per il prolungamento, a nostro piacere, della tabella.

Pensiamo l'ennesima riga della tabella come lo sviluppo del binomio (2 x + 1)ⁿ.

Per esempio, il segmento di retta dello spazio a una dimensione ha due estremi e uno spigolo; scriviamolo come (2 x  + 1) e moltiplichiamolo per sé stesso: 

(2 x  + 1) * (2 x + 1) = 4 x² + 4 x + 1

Si osserva che i coefficienti del risultato corrispondono alla terza riga della tabella.

Ciascuna riga della tabella, scritta come polinomio e moltiplicata per (2 x + 1), dà la riga successiva.

Quali sono, ad esempio, gli elementi di un cubo a sei dimensioni?

Scriviamo la riga relativa al 5-cubo come polinomio di quinto grado e lo moltiplichiamo per (2 x + 1):

(32 x⁵  +  80 x⁴ + 80 x³ + 40 x² + 10 x  +  1) * (2x + 1) = (64 x⁶ + 192 x⁵  + 240 x⁴ + 160 x³ + 60 x² + 12 x + 1)

I coefficienti (che ho evidenziato scrivendoli in grassetto) danno la sesta riga della tabella.

Il cubo a sei dimensioni (che chiamo "esacubo") ha, dunque, 64 vertici, 192 spigoli, 240 facce quadrate, 160 facce cubiche, 60 facce ipercubiche, 12 facce pentacubiche ed è 1 cubo a sei dimensioni.

Osserviamo che, a partire dalla colonna "Segmenti o spigoli", ciascun numero della tabella è uguale al doppio del numero situato immediatamente sopra, sommato col numero superiore a sinistra.

Es: per conoscere il numero delle facce ipercubiche in un pentacubo guardo il numero posizionato nella sesta colonna e nella quinta  riga (quindi il numero 1), lo raddoppio e lo sommo al numero posizionato a sinistra (che è: 8), ottenendo 10 che rappresenta proprio il numero delle facce ipercubiche di un pentacubo.

Nel capitolo "Stelle magiche e poliedri" vengono approfonditi, tra l'altro, i concetti inerenti al pentagramma (stella a cinque punte), all'esagramma (stella a sei punte), all'eptagramma (stella a sette punte) e all'ottogramma (stella a otto punte).

Ho preparato un'animazione, eseguita con il logo, relativa all' ottogramma (stella a 8 punte) magico, in cui, sistemando opportunamente i numeri naturali da 1 a 16 (compresi), si ottiene che la somma dei quattro "nodi" (evidenziati) di ciascun lato dei due quadrati, è 34; infatti poiché nell'ottogramma ci sono 8 segmenti e dato che ogni vertice è comune a due di essi, la costante magica si calcola sommando i numeri da 1 a 16 ed eseguendo il seguente calcolo: (2*136)/8 = 34.

Nella mia animazione, che presenta una delle numerose risoluzioni possibili, anche la somma dei quattro vertici di ciascuno dei due quadrati grandi è 34. Per visionarla, cliccate qui

Ho realizzato anche il cubo magico numerando i 12 spigoli del cubo con i numeri naturali consecutivi (cioè interi positivi consecutivi) dall'1 al 12 (compresi), in modo tale che il cubo fosse MAGICO relativamente alle facce, cioè la somma dei quattro lati che racchiudono ogni faccia è 26

L' esagramma magico (da me costruito, presentando una delle possibili risoluzioni)  è conosciuto anche come esalfa, sigillo di Salomone, e stella di David. La sua costante magica è 26; infatti, dal momento che ci sono 6 segmenti e poiché ogni vertice è comune a due di essi, essendo la somma dei numeri naturali da 1 a 12 uguale a 78, la costante magica si ottiene calcolando (2*78)/6 = 26