Una piramide di carte

Consegnate ad un amico un mazzo di 52 carte francesi, da cui sono state rimosse tutte le figure e i dieci, e fategliele mischiare per benino. Quindi l’amico sta mischiando un mazzo di 36 carte francesi, in cui sono presenti tutti e quattro i semi e tutti i valori dall’uno al nove. Chiedetegli, poi, di disporre cinque carte a faccia in sù, ovvero in vista, in fila. A questo punto, fatevi ridare momentaneamente il mazzo di carte residuo e prelavate in esso una carta, che porrete a faccia in giù, ovvero di dorso, in una posizione al di sopra della fila costruita dall’amico, così come mostrato nella figura che segue:

Riconsegnate le carte all’amico che deve completare, ora, la piramide accennata come segue: ciascuna coppia di carte, nella fila che lui aveva disposto, deve essere sommata col metodo di scartare i nove, vale a dire se una o più di tali somme supera nove occorrerà sottrarre nove da esse e questo può essere fatto rapidamente sommando le due cifre ottenute nelle somme corrispondenti! Ad esempio le prime due carte della fila in basso della figura sono un nove e un sette; queste danno per somma 16 ed allora invece di sottrarre nove da 16, ottenendo sette, aggiungiamo fra loro le due cifre di 16, ottenendo nuovamente sette (16 - 9 = 1 + 6). Pertanto l’amico porrà un sette sopra la prima coppia di carte. La seconda e la terza carta, un sette ed un asso, danno come somma un otto e così sopra a tali carte ne porrà un’altra con tale valore. Si continua in questo modo fino a formare una nuova fila di quattro carte e si ripete il procedimento finché la piramide ragginge la carta al vertice di dorso, che avevate sistemato voi. Quando questa verrà girata, per essere mostrata, si scopre che essa è proprio la carta esatta per l’ultima somma, nel caso dell’esempio sopra: un otto!

Il gioco può essere eseguito con un qualunque numero di carte nella riga iniziale posta dall’amico, ovvero per qualsiasi ordine della piramide, tuttavia, se ce ne sono troppe, possono non essercene abbastanza per completare l’intera piramide, ma, in tal caso, i calcoli possono essere proseguiti su un foglio di carta ...

Come fate a determinare, rapidamente, sempre la cifra esatta della carta alla sommità della piramide?

Soluzione

Si potrebbe pensare che il valore della carta richiesta sia la somma di tutte le cifre dei valori delle carte della prima riga, ridotta ogni volta di nove, vale a dire fare il modulo nove di tale somma, ma non è così semplice!

Vediamo di individuarla allora matematicamente, a partire da una piramide con la base formata da cinque carte, così come nell’esempio del testo. Indichiamo con A il valore della carta al vertice, ossia quella da porre di dorso, con B e C quelle che andranno nella seconda riga, con D, E ed F quelle che andranno nella terza riga, con G, H, I ed L quelle che andranno nella quarta riga e con M, N, O, P e Q quelle che ha posto il nostro amico nella quinta riga. Possiamo a questo punto esprimere tutti i valori delle carte incognite in funzione delle cinque che si conoscono in partenza. Per la quarta riga si ha quindi:

G = (M + N) modulo nove
H = (N + O) modulo nove
I = (O + P) modulo nove
L = (P + Q) modulo nove

Chiaramente quando il risultato del modulo nove è nullo occorrerà mettere una carta del valore nove nella posizione esaminata. Tale considerazione è implicita anche nelle altre righe che andremo a determinare; in particolare per la terza riga è:

D = (G + H) modulo nove = [(M + N) modulo nove] + [(N + O) modulo nove] =
= (M + 2·N + O) modulo nove
E = (H + I) modulo nove = [(N + O) modulo nove] + [(O + P) modulo nove] =
= (N + 2·O + P) modulo nove
F = (I + L) modulo nove = [(O + P) modulo nove] + [(P + Q) modulo nove] =
= (O + 2·P + Q) modulo nove

Analogamente nella seconda riga si hanno le carte:

B = (D + E) modulo nove = [(M + 2·N + O) modulo nove] + [(N + 2·O + P) modulo nove] =
= (M + 3·N + 3·O + P) modulo nove
C = (E + F) modulo nove = [(N + 2·O + P) modulo nove] + [(O + 2·P + Q) modulo nove] =
= (N + 3·O + 3·P + Q) modulo nove

Ed infine per la carta posta di dorso è:

A = (B + C) modulo nove = [(M + 3·N + 3·O + P) modulo nove] +
+ [(N + 3·O + 3·P + Q) modulo nove] = (M + 4·N + 6·O + 4·P + Q) modulo nove

Per una piramide di ordine cinque, pertanto, il valore della carta posta di dorso deve essere congruo alla somma, modulo nove, delle carte poste in basso dall’amico dopo che la carta centrale è stata moltiplicata per sei e ciascuna delle sue vicine per quattro. Nell’esempio fatto si ha quindi:

A = (M + 4·N + 6·O + 4·P + Q) modulo nove = (9 + 4·7 + 6·1 + 4·5 + 8) modulo nove =
= (9 + 28 + 6 + 20 + 8) modulo nove = 71 modulo nove = 8

come avevamo già preannunciato nel testo dal valore delle carte nella seconda fila.

Come si può notare, le operazioni da compiere, per l’individuazione della carta che andrà in cima alla piramide, procurano un notevole sforzo mentale da parte di chi propone l’esecuzione del gioco ed anche il ricordare tutti i coefficienti moltiplicativi di ciascuna carta posta inizialmente dall’amico non è cosa agevole. Come fare allora per semplificare maggiormente il tutto? Partiamo dalla seconda difficolta accennata; a tal proposito, si osservino bene tutti i coefficienti moltiplicativi delle varie righe. Ebbene sì! Essi sono esattamente tutti i numeri che troviamo nelle rispettive righe del famoso triangolo di Tartaglia! Ciò implica che, in generale, se n sono il numero delle carte nella fila disposta inizialmente dall’amico, la riga n - 1 del triangolo di Tartaglia, che contiene esattamente n numeri, fornisce la formula per calcolare il valore della carta da porre di dorso nel vertice della piramide. In questo modo, è possibile ricordare facilmente quei coefficienti moltiplicativi quando cambiamo a piacimento l’ordine della piramide e, quindi, il numero delle carte formante la sua base. Esaminiamo ora la prima difficoltà e supponiamo che ci siano sei carte nella fila di base della piramide; la quinta riga del triangolo di Tartaglia è costituita dai numeri 1, 5, 10, 10, 5, 1. Riducendo i due dieci che in essa compaiono nel modulo nove, si hanno i sei coefficienti moltiplicativi che diventano: 1, 5, 1, 1, 5, 1; tali numeri si prendono come multipli delle sei carte; solo i valori delle carte in seconda posizione da ciascun estremo vengono ora moltiplicati per cinque e poi sommati alle restanti, prima di determinarne il modulo in base nove. Tali operazioni sono notevolmente più semplici rispetto alla piramide più piccola vista sopra, tanto che possono essere facilmente eseguite anche a mente, specialmente se si determinano i moduli parziali in base nove via via che si sommano i valori delle carte. Ad esempio, se i valori delle sei carte poste alla base sono otto, due, nove, quattro, sei e sette basterà moltiplicare dapprima per cinque le carte in seconda posizione da ciascun estemo, ottenendo rispettivamente i valori dieci e trenta, determinare i moduli in base nove di questi, che sono uno e tre, fare la loro somma, quattro, aggiungere ancora i valori delle altre carte, ottenendo 32 come totale e derminare finalmente il suo modulo in base nove che è cinque. Tale sarà il valore della carta, che occorrerà porre al vertice della piramide. Ma trovare il vertice della piramide è ancora più semplice per una fila composta da dieci numeri: in tal caso, la nona riga del triangolo di Tartaglia ridotta nel modulo in base nove è: 1, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 1. Per ottenere il valore della carta che andrà al vertice, dobbiamo perciò moltiplicare per tre il valore della quarta carta di ciascun estremo, aggingere al risultato il valore della prima e dell’ultima carta e determinarne il modulo in base nove. Le altre sei carte possono essere anche tranquillamente ignorate! Si può verificare facilmente che i calcoli da sostenere stavolta sono molto più agevoli delle precedenti versioni, ma tale configurazione procura all’amico, che deve sistemare più carte sul tavolo, una maggiore fatica. In effetti l’eliminazione delle figure e dei dieci al mazzo di carte è stata fatta solo per semplificare le operazioni dello spettatore: il gioco funzionerebbe, infatti, anche se venisse usato l’intero mazzo di carte e con i valori 11, 12 e 13 assegnati rispettivamente al fante, alla donna ed al Re. Infatti, il gioco può non essere limitato alla somma che scarta i nove, in quanto qualsiasi intero dei valori costituenti le carte del mazzo può essere scartato tranquillamente. In tali casi la riga (n - 1)-esima del triangolo di Tartaglia, coi numeri ridotti secondo il modulo di riduzione, dà le formule richieste. Ad esempio, supponiamo di scartare dal mazzo delle 52 carte tutte quelle con valore superiore al sette, che il nostro amico abbia posto sul tavolo le prime otto carte formanti la base della piramide e che sistemi le successive sommando i valori di ciascuna coppia di carte e determinandone il modulo in base sette; in tal caso la riga sette del triangolo di Tartaglia è 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1; la stessa ridotta modulo sette diventa 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1. Per determinare il vertice, basta solo sommare i valori delle carte estreme e, se necessario, determinare il modulo in base sette.

Una buona presentazione di questo questo trucco, da eseguirsi anche con un mazzo di carte napoletane, consiste nel lasciar predire allo spettatore il valore della carta che andrà al vertice della piramide, facendogli dire il nome di una cifra a piacere. Egli poi sistema una riga di carte in modo da formare la base della piramide stessa, ma lasciando che voi ne sistemate un’ultima in qualunque posizione della base egli vi designa. In questo modo l’amico sempre fissa il valore dello stesso numero di carte, ma stavolta sono tutte quelle della base della piramide, eccetto una, più quella del vertice, mentre voi calcolerete, con procedimento inverso a quello fin ora mostrato (ovvero sottraendo alla cifra che formerà il vertice della piramide il valore modulare della somma delle carte inserite già come base della piramide), la carta che dovrà essere collocata nella posizione richiesta, in modo che la predizione sia rispettata. In tal caso nessun coefficiente moltiplicativo dei valori delle carte poste alla base potrà essere nullo altrimenti si rischia che la carta che andremo ad inserire non avrà alcun effetto e la previsione non potrà più essere rispettata!

I maghi conoscono questi trucchi sotto il nome di “gioco di Apex”. Fu escogitato da un mago tedesco, tal Franz Braun, che lo pubblicò intorno al 1960 nella sua rubrica di trucchi matematici di magie di un periodico tedesco. Quando il gioco è fatto con le carte è bene avere un secondo mazzo a portata di mano nel caso in cui la piramide richieda più carte dello stesso valore il che può accadere anche con piccole piramidi. Ad esempio una riga inferiore composta da carte con i valori quattro, cinque, quattro e cinque richiederebbe la bellezza di sei carte del valore nove per poter completare la piramide!

Variante

Rimuovendo le figure ed i dieci da un normale mazzo di 52 carte francesi restano 36 carte che è anche un numero triangolare. È possibile allora formare una piramide con le regole del gioco di Apex e con alla base otto di queste carte tale che vengano utilizzate tutte e solo quelle 36 carte e la disposizione dei valori delle carte risulta essere la seguente:

9
4   5
4   9   5
3   1   8   6
2   1   9   8   7
8   3   7   2   6   1
3   5   7   9   2   4   6
1   2   3   4   5   6   7   8

Chiaramente è valida anche la soluzione simmetrica che vede la base della piramide formata da numeri decrescenti dall’otto all’uno anziché crescenti dall’uno all’otto. Ma queste due non sono le uniche soluzioni: tutte le combinazioni possibili di formare la base della piramide sono complessivamente 157, escluse le simmetriche. Esse sono la metà di quelle totali in quanto non ci sono combinazioni simmetriche di sé stesse! Visto il loro numero elevato riportiamo, per completezza di trattazione, solo le 34 che cominciano con l’asso:

1   2   3   4   5   6   7   8
1   2   4   3   5   4   3   2
1   2   5   9   5   2   9   6
1   2   8   5   7   8   1   7
1   3   5   1   8   8   6   7
1   3   5   2   1   4   9   2
1   3   7   9   6   8   9   2
1   4   2   2   8   7   3   9
1   4   2   8   9   6   4   8
1   4   3   4   9   2   9   1
1   4   5   1   2   5   8   4
1   4   6   4   1   3   9   8
1   5   2   6   3   7   4   8
1   5   3   9   1   7   5   8
1   5   6   7   2   3   4   8
1   5   6   9   1   3   2   9
1   6   1   3   6   8   3   8
1   6   2   7   6   2   1   5
1   6   5   5   1   7   9   2
1   6   5   5   4   2   3   4
1   6   9   3   4   2   9   8
1   7   3   2   7   5   2   6
1   7   5   3   6   7   5   2
1   7   6   2   9   8   6   3
1   7   8   3   6   7   8   5
1   8   2   9   5   8   3   3
1   8   3   6   4   9   8   6
1   8   7   7   6   2   9   5
1   9   2   5   1   7   6   5
1   9   4   3   5   5   7   2
1   9   4   3   9   8   6   5
1   9   6   8   5   3   5   8
1   9   7   5   6   9   3   8
1   9   8   5   7   7   3   5

Restano poi 28 soluzioni che iniziano per due, 28 che iniziano per tre, 24 che iniziano per quattro, 13 che iniziano per cinque, 14 che iniziano per sei, nove che iniziano per sette, tre che iniziano per otto e nessuna che inizia per nove. La tendenza è ovviamente a diminuire al crescere del valore della carta, ma, stranamente, la funzione non è monotona: le combinazioni che iniziano col sei sono maggiori di quelle col cinque.