Ultimo aggiornamento: 03/11/2004

Mauro Cerasoli, Franco Eugeni, Marco Protasi, “ELEMENTI DI MATEMATICA DISCRETA”, Zanichelli

Nella Prefazione si legge: “Lo scopo del nostro libro è quello di dare una rapida panoramica sugli aspetti più salienti della matematica discreta. Esso è rivolto ad un pubblico vario di studenti, docenti di scuola secondaria desiderosi di aggiornarsi, ma anche allo studioso che, avendo con la combinatoria scarsa familiarità, desideri vederne le prime trame.

La matematica discreta offre infiniti argomenti di studio sia per gli aspetti teorici che per quelli applicativi. L’attività di ricerca negli ultimi trenta anni è stata, a dir poco, esplosiva. Quasi certamente la matematica della seconda metà del Novecento passerà alla storia come matematica del discreto. Pressati da problemi di tipo informatico, rivoluzionati dall’apparizione di potentissimi calcolatori elettronici, di fronte a nuovi problemi che ignorano quantità continue come spazio e tempo, i matematici hanno scoperto l’immenso campo di ricerca nel mondo delle strutture finite.

La società contemporanea si trova sempre più in mezzo a strutture composte da un numero finito di elementi. Finito è il numero di lavoratori, di macchine, di reparti, di ore di lavoro, di prodotti ecc. di una qualsiasi azienda. Allo stesso tempo negli aeroporti, nelle stazioni, nelle caserme, negli ospedali, negli uffici, nelle scuole, ecc., è sempre finito il numero di persone che vi lavorano o di strutture ed oggetti che vi si trovano. Problemi derivanti da queste realtà hanno inevitabilmente a che fare con la matematica del finito. Purtroppo la matematica classica, rappresentata spesso soltanto dalla geometria e dall’analisi, fondata sul sistema infinito dei numeri reali, nonostante i ragguardevoli risultati ottenuti in trecento anni di ricerca dal tempo di Cartesio, a metà di questo secolo non aveva che qualche misero strumento da offrire per affrontare problemi di carattere discreto. In questo campo il calcolo differenziale e integrale è impotente, non funziona: c’è bisogno di nuove idee e di nuovi modi di pensare e ragionare. Ad esempio, il famoso «pigeonhole principle», tradotto impropriamente da noi come «principio del cassetto», dice che se una piccionaia ha più piccioni che buche, allora in una buca ci sono almeno due piccioni. Questo principio così evidente esprime un nuovo modo di ragionare, ma, pur essendo evidente, è a volte difficile nella pratica stabilire chi sono i piccioni e quali le buche. Come esempio risultano vere le seguenti affermazioni:

a)    in ogni gruppo di almeno 13 persone, due compleanni cadono nello stesso mese;

b)      in ogni insieme di almeno 12 interi ne esistono almeno due la cui differenza è divisibile per 11 […]

Negli ultimi cinquanta anni la matematica discreta si è timidamente affiancata allo studio delle strutture continue. Naturalmente, in un primo momento, hanno preso piede tecniche di discretizzazione del continuo, proprie dell’analisi numerica. L’avvento dei calcolatori sempre più potenti ha condotto a studi nei quali il discreto ha vita propria. In realtà i primi studi sono più antichi, essi risalgono ad Eulero, Kirkman, Cayley, Sylvester, Hamilton, Steiner ecc., ma, solo recentemente grossi progressi sono stati compiuti a partire da MacMahon, Young, Kõnig, Polya, Whitney, Dilworth ecc.[…]

Dagli studi sulle geometrie finite, iniziati negli anni 50, fino alle più moderne ricostruzioni del calcolo umbrale, la combinatoria ha fatto passi da gigante.[…]

Prima di concludere desideriamo ricordare ciò che scriveva Gian Carlo Rota [1973] a proposito della matematica discreta: «Vorremmo mettere in guardia il lettore contro l’impressione erronea che la teoria combinatoria si limiti allo studio di insiemi finiti. Una collezione infinita d’insiemi finiti non è affatto un insieme finito, e l’infinito riesce a intrufolarsi anche nei ragionamenti più finiti. In nessun altro campo come nella teoria combinatoria viene svelata la fallacia del ben noto detto di Kronecker Il buon Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo. Sarebbe, caso mai, molto più giusto dire: Dio ha creato l’infinito; l’uomo, incapace di comprenderlo, ha dovuto arrangiarsi inventando gli insiemi finiti. Proprio nel perenne intrecciarsi di finito e di infinito sta il fascino del pensiero combinatorio.»"