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Esplorando un antico
sentiero: |
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di Giorgio Pietrocola |
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Il caso più semplice del problema, che mi divertii ad affrontare, era quello conosciuto soprattutto per l'aneddoto del piccolo Gauss. Si racconta che un maestro, nella seconda metà del settecento, avesse dato, per esercizio in classe ai suoi alunni, il calcolo della somma dei primi cento numeri interi. Solo il giovanissimo Carl Fridrich si avvide che non era necessario fare tutte quelle somme, per arrivare al risultato. Suppongo che si sia subito accorto che questa somma con addendi crescenti formava una sorta di triangolo, lo raddoppiò applicando la stessa bella idea che aveva saputo cogliere nella geometria per il calcolo delle aree, calcolò le unità del rettangolo così ottenuto, scrisse sulla propria lavagnetta 100*101, dimezzò il risultato e, mentre gli altri stavano ancora all'inizio delle loro laboriose somme, consegnò subito il risultato corretto al suo maestro. |
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| Generalizzando, il problema risulta: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Successivamente, in contesti che ora non ricordo bene, mi imbattei nell'enunciazione di queste altre due uguaglianze vere per ogni n: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| La cosa mi incuriosì. Erano ancora polinomi per semplificare il calcolo
progressivo di somme di interi. Cambiavano però gli esponenti degli addendi.
Prima uno, poi due e tre. In questi ultimi due casi, però, il motivo di queste
uguaglianze appariva molto meno evidente. Certo, era relativamente facile
dimostrare che queste formule valevano per ogni n verificando il caso più
semplice e dimostrando, poi, che la verità di questa uguaglianza si eredita da un caso qualsiasi al successivo, ma questo non diceva nulla su come
quelle formule erano state trovate né se ne esistessero altre dello stesso tipo
per esponenti maggiori. In mancanza di altre informazioni, decisi di passare all'azione provando ad approfondire autonomamente. Come prima cosa mi chiesi se esistesse un'analoga formula per la somma delle quarte potenze. Osservando i casi precedenti, mi parve naturale ipotizzare l'esistenza di un polinomio di quinto grado. Osservando i polinomi precedenti, sembrava facile prevedere i coefficienti dei monomi di quinto e quarto grado e appariva scontato che il termine noto dovesse continuare ad essere nullo. L'altra metà dei coefficienti, però, appariva molto meno prevedibile. Per verificare queste mie prime congetture, lasciai incogniti tutti i coefficienti del mio generico polinomio, feci un'interpolazione imponendo un numero di condizioni pari ai coefficienti incogniti ed ottenni un sistema lineare. Ricordo che era la fine degli anni '70, prima dell'avvento degli home computer, ma avevo già uno strumento di calcolo molto sofisticato, una TI58, calcolatrice programmabile della Texas Instrument. La usai con entusiasmo, per risolvere il sistema. Trovate le soluzioni in formato decimale, arrivai facilmente ad intuire le frazioni generatrici e a scriver il polinomio nella seguente forma: |
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| Dopo aver verificato l'effettivo funzionamento del polinomio trovato, mi misi a riflettere con il nuovo dato acquisito sul modo di evolversi di questi polinomi. Vidi che, nonostante le mie congetture fossero state tutte confermate, il risultato trovato non sembrava migliorare le cose. Il problema era che il prossimo polinomio, sempre che fosse esistito, cosa che ormai mi sembrava probabile, avrebbe avuto un coefficiente in più da determinare e, nonostante l'aumento delle informazioni, e i miei notevoli sforzi immaginativi per cercare di sfruttarle, la mia capacità di previsione non era sostanzialmente aumentata. Non mi scoraggiai e continuai a trovare i polinomi nei casi successivi, raccogliendo, di volta in volta i coefficienti trovati, in una tabella | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Man mano che i dati aumentavano, sembravano emergere nuove e misteriose
regolarità. Il disegno complessivo tuttavia, se esisteva, continuava a rimanere
oscuro, vanificando i miei sforzi di venirne a capo. Riflettei a lungo su questi dati, cercando una chiave per comprenderli, ma alla
fine mi arresi. |
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| Circa venti anni dopo, durante un'altra delle mie non frequenti fasi di
esplorazione matematica, mentre ero impegnato in un problema con le matrici, mi
ricordai di quei coefficienti che, con tanta cura, molto tempo prima, avevo messo in forma di matrice triangolare
su un quaderno.
In quell'arco di tempo la tecnologia aveva fatto passi da gigante e potevo
disporre di un computer personale, munito di un foglio di calcolo che
permetteva di fare agevolmente operazioni con le matrici. Copiati
quei dati sul foglio elettronico, mi misi ad elaborarli e, con mia grande
sorpresa, aiutato sicuramente anche dalla fortuna, trovai quello che
tuttora mi sembra un bellissimo risultato e che, comunque, mi riempì
di soddisfazione premiando, inaspettatamente, la mia ostinazione.
Finalmente, dopo quella lunghissima pausa in cui avevo quasi
dimenticato il problema, mi sembrava di essere riuscito a mettere
ordine in quella oscura matrice di numeri che, fino a poco tempo prima, mi
era sembrata sostanzialmente irriducibile! Infatti, avevo trovato un
modo immediato e spettacolare per mettere ordine in quei
coefficienti: farne la matrice inversa! Dopo questa trasformazione, come per incanto tutto diventava facilmente prevedibile, le frazioni, sparivano del tutto lasciando al loro posto numeri interi che, pur nell'alternanza dei segni, e con un "piccolo sfregio", lasciavano trasparire un grande e arcinoto protagonista del calcolo combinatorio: il triangolo di Tartaglia! Ecco che cosa si ottiene calcolando la matrice inversa di quella di fig.2 contenente i coefficienti dei polinomi, che danno le somme di potenze.: |
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| Come si vede, in questa matrice traspare
chiaramente quello che in Italia è chiamato triangolo di Tartaglia anche se si
nota un'alternanza di segni e l'assenza , in ogni riga, dell'ultimo coefficiente binomiale. Per caratterizzare questa situazione, comune
anche ad altre
matrici dalle notevoli proprietà che trovai successivamente, userò il termine
"matrice sfregiata" evocatomi dalla biografia di
Niccolo Fontana
(1499-1557) detto il Tartaglia proprio a causa di una ferita al volto, che ne
segnò l'esistenza. Queste matrici sfregiate, che a me sono sembrate così interessanti, non sembrano essere molto conosciute. Almeno a giudicare dal fatto che, con le mie ricerche, non sono riuscito a trovarne riscontro né sui libri consultati né sui siti internet che trattano di somme di potenze, o di argomenti ad esse correlati come i numeri di Bernoulli. Non ho trovato nulla, neppure visitando i siti in lingua inglese che, normalmente, sono più ricchi di informazioni rispetto ai nostri. Questo naturalmente non significa certo che le proprietà di queste matrici siano sconosciute. Le mie ricerche restano pur sempre assai limitate. Reputo molto probabile, invece, che siano fatti ben conosciuti da tempo e già pubblicati chissà dove. Che queste matrici possano essere sfuggite a Faulhaber e a J.Bernoulli, dati gli sviluppi della matematica del loro tempo sembra credibile. Molto meno credibile mi sembra, invece, che siano sfuggite a gente come Jacobi nel '800 fino ad arrivare ai giorni nostri. Del resto sono consapevole di essere solo un dilettante, uno che qualche volta si diverte a giocare con i numeri e che, sebbene già in pensione, non dispera, da grande, di poter fare il matematico. Comunque sia, tornando al racconto della mia scoperta, constatata la singolare proprietà di questa matrice sfregiata, la cui inversa dava quei coefficienti dei polinomi delle somme di potenze su cui tanto avevo riflettuto, volli capire le cause di questo comportamento apparentemente magico. Quando arrivai a vederne le cause, però, sospesi la mia esplorazione senza dare una dimostrazione formale che appariva complicata da noiose questioni di simbolismo. Solo ora, a distanza di anni, ho deciso di tornare sull'argomento. |
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| Ecco come ho formalizzato parte delle conoscenze emerse da questo lungo percorso esplorativo: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| La trattazione riassunta nella precedente tabella, però, non esaurisce completamente ciò che è emerso dalla mia esplorazione. Alcune scoperte collaterali non hanno trovato posto in questa nè in altra sistemazione perché mi sembra di non saperne ancora abbastanza. La ricerca, anche se lentamente, continua. Mi sembra che le due matrici che si sono imposte alla mia attenzione siano ben lungi dall'esaurire il loro ruolo nei due teoremi che ho dimostrato. Sembrano avere una loro personalità molto sviluppata e fare parte di una classe più ampia di matrici, sfregiate e non, con cui sono strettamente legate da un'armoniosa aritmetica. Il primo fatto eclatante che è emerso è che moltiplicando la matrice di fig.2, inversa della sfregiata a segni alterni, per la sfregiata positiva, in questo preciso ordine perché si tratta di un prodotto non commutativo, si ottiene, mirabile dictu, una matrice, perfettamente risanata, contenente il triangolo di Tartaglia! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| A questo punto, visto che il prodotto righe per colonne non è commutativo viene spontaneo chiedersi cosa succede cambiando l'ordine dei fattori. Ebbene, si ottiene ancora una matrice sfregiata ma questa volta non a destra come era per quelle precedenti bensì a sinistra. Infatti, rispetto al triangolo di Tartaglia non manca più l' uno alla fine di ogni riga ma quello all'inizio. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Ma la strana aritmetica delle matrici sfregiate non finisce qui. La comparsa di una sfregiata sinistra positiva faceva risaltare , per analogia con l'altra, la mancanza di una sfregiata sinistra a segni alterni. In effetti tale matrice si può ottenere facilmente in due modi. Il primo è fare l'inversa della sua gemella positiva, il secondo è moltiplicare la sfregiata destra a segni alterni con l'inversa della sfregiata destra positiva. E se si inverte l'ordine dei fattori? Si ottiene un triangolo di Tartaglia completo ma a segni alternati. Lo stesso risultato che si ottiene invertendo il triangolo di Tartaglia. Finito? tutto qui? Non esattamente ci sono altri casi notevoli come il fatto che se si moltiplica la matrice del triangolo di Tartaglia per la sua sfregiata sinistra escono fuori i coefficienti dei polinomi di Chebyshev... ma questa, semmai, sarà un'altra storia. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Appello | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Se qualche lettore avesse notizia di pubblicazioni o siti in cui compaiano le matrici presentate in questo articolo farà cosa gradita segnalandomeli. Il mio indirizzo è g.pietrocola@alice.it | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| link | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Somma di potenze di interi successivi - Wikipedia | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Numeri di Bernoulli - Wikipedia | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Faulhaber's formula - Wikipedia, the free encyclopedia | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Power Sum -- from Wolfram MathWorld | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sums of Consecutive Powers Project | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| The Bernoulli Number Page | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bernoulli number - Wikipedia, the free encyclopedia | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Roma,31.10.2008 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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