Problema proposto da Fabio Borzani

"Vorrei proporvi un gioco geometrico che ho scoperto per caso.
Dapprima vi descrivo questo gioco: cinque punti (A, B, C, D ed E) sono disposti sul piano in una particolare configurazione:

ABC è un triangolo isoscele
L'angolo in A è uguale e 64°
L'angolo in B è uguale e 52°
L'angolo in C è uguale e 64°		 ACD è un triangolo isoscele
L'angolo in A è uguale e 64°
L'angolo in C è uguale e 52°
L'angolo in D è uguale e 64°		 ADE è un triangolo isoscele
L'angolo in A è uguale e 18°
L'angolo in D è uguale e 18°
L'angolo in E è uguale e 144°


Il lato AC misura 1,0000 m

Chiederei:
   1) Quanto misura il diametro del cerchio iscritto nel triangolo ABC?
   2) Quanto misura il diametro del cerchio iscritto nel deltoide ACDE?

Ho provato a disegnare su un foglio abbastanza esteso questo triangolo isoscele ABC saldato al deltoide ACDE e i due cerchi sembrano
«particolarmente uguali». Si può ottenerne una conferma?

In più, sarebbe possibile creare altre configurazioni legate a quella da me proposta e valutare se i due cerchi iscritti (nel triangolo ABC e nel deltoide ACDE) sono uguali?
Mi spiego: ancora lavorando con i tre triangoli isosceli ABC, ACD e ADE con il lato AC in comune tra il triangolo ABC e il deltoide ACDE è possibile creare un'altra configurazione di questi punti dove sia possibile variare l'ampiezza degli angoli, tenendoli assolutamente interi (ovvero gli angoli non dovrebbero presentare decimali), per raggiungere i due cerchi iscritti d'uguale diametro? 

Se ad esempio imponessi l'angolo in A di ABC a 48° (gli altri in ABC evidentemente sarebbero entrambi a 66°) così come l'angolo in C di ACD, sarebbe possibile giocare con gli angoli del triangolo ADE per permettere di iscrivere perfettamente nel deltoide il cerchio iscritto in ABC?
Tutto questo per rincuorarmi sul fatto che non solo unicamente con gli angoli della mia iniziale configurazione sia possibile ottenere uguali i due
cerchi iscrivibili!"
Risposta di Giorgio Pietrocola
AC=CD=1 BAC=BCA=CAD=ADC=64
ABC=ACD=52
AED=144
EAD=ADE=18
 
Q è intersezione delle bisettrici del triangolo ABC
 
PC=1/2=0.5
PCQ=64/2=32
PQ/PC=tanPCQ
PQ=0.5*tan32          -primo raggio
 
O è intersezione delle bisettrici del deltoide ACDE
 
AH/AC=cosCAD
HC/AC=senCAD
ma AC=1 CAD=64
dunque
AH=cos64=HD
HC=sen64
 
EDC=CAD+EDA
EDC=64+18=82
 
EDO=EDC/2
EDO=41
 
HDO=EDO-EDA
HDO=41-18=23
 
OH/HD=tanHDO
OH=(tan23)*(cos64)
 
OC=CH-OH
OC=sen64-cos64*tan23
 
essendo il triangolo OKC simile a ACH
OK/AH=OC/AC
OK/cos64=OC/1
OK=OC*cos64
 
sostituendo
OK=(sen64-cos64*tan23)*cos64
- secondo raggio

 
Dunque il diametro iscritto del cerchio inscritto in ABC essendo doppio del raggio PQ è
tan32=0.624869351909328
mentre il diametro del cerchio inscritto nel deltoide è il doppio di OK:
2(cos 64)(sin 64)-(cos 64)*(tan 23)= 0.62486872898331
Come si vede i due valori, pur essendo vicini, non coincidono.
La loro differenza non è zero ma 0.000000622926017213032.
Essendo i cerchi disuguali non si può quindi trovare la conferma richiesta.
Generalizzando il problema, come richiesto, si indica con a l'angolo che era di 64 gradi  e con  b quello che era di 18 :

AC=CD=1 BAC=BCA=CAD=ADC=a
ABC=ACD=180-2a
 EAD=ADE=b
AED=180-2b
 PQ=0.5*tan(a/2)
 AH=cosa=HD  HC=sena
 EDC=a+b
 EDO=(a+b)/2
 HDO=EDO-ADE    HDO=(a+b)/2-b=(a-b)/2
 KO=cosa(sena-cosatan((a-b)/2)
imponendo ai due diametri di essere uguali si ha

dove si è sfruttata l'identità  2senacosa=sen2a . Infine esplicitando b in funzione di a si ottiene

Ponendo ora a=64 si ottiene b=18.0001573720485 il che conferma come non ci sia predilezione per gli angoli interi. La vicinanza a 18 appare solo come una accidentale coincidenza.
L'animazione mostra, infine, cosa succede al variare dei possibili valori interi di BAC=a .
animazione realizzata con MSWLogo
(vedi www.maecla/tartapelago.htm)