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…ed ecco che proseguendo gradualmente verso le altre potenze, è lecito allestire, sia pur con lieve difficoltà, la seguente lista |
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Somme di potenze |
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Certamente, estraendone
la legge di progressione, si potrà anche continuare la stessa lista
con una generalizzazione, senza usare queste estensioni di calcoli. Preso, infatti, c come esponente di una
qualsiasi delle precedenti somme di potenze con base variabile da |
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e
così di seguito, senza interruzione, diminuendo di due l'esponente dei monomi
fino a giungere a
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Nota 1 |
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Questa formula esposta da Bernoulli fu scoperta precedentemente da Johann Faulhaber (1580-1635). Oggi chiamiamo numeri di Bernoulli quelli che venivano indicati con lettere maiuscole.
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Utilizzando questi numeri insieme con i coefficienti binomiali, oggi possiamo indicare quella somma così
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a
patto però di porre |
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Siccome,invece,
attualmente si preferisce porre |
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per esempio se c=2
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Nota 2 |
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Nel
testo originale per indicare la somma è usato il simbolo
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Nota 3 |
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Nel penultimo polinomio è segnato in rosso un coefficiente che nel testo originale risulta errato. Probabilmente si tratta di un vecchio errore di stampa. Non è 1/12 come nel testo originale ma 3/20 come si può facilmente constatare dato che la somma dei coefficienti di questi polinomi deve sempre dare 1 perché questo è il risultato della somma progressiva di potenze quando sono formate da un solo elemento. |
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Ringraziamenti |
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Ringrazio Ivana Niccolai e Gisella Malagodi che mi hanno aiutato con le loro conoscenze della lingua latina. Spero di essere riuscito a fare un uso appropriato e corretto delle loro preziose informazioni. |
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