…ed ecco che proseguendo gradualmente verso le altre potenze, è lecito allestire, sia pur con lieve difficoltà, la seguente lista

Somme di potenze

 

Certamente, estraendone  la legge di progressione, si potrà anche continuare la stessa lista con una generalizzazione, senza usare queste estensioni di calcoli.  Preso, infatti, c come esponente di una qualsiasi delle precedenti somme di potenze con base variabile   da 1 a n, il risultato diventa  la sommatoria di tutti i termini come qui mostrato

 

e così di seguito, senza interruzione, diminuendo di due l'esponente dei monomi  fino a giungere a  , o . Le lettere dell'alfabeto, in stampato maiuscolo A, B, C, D ecc. denotano, in ordine, i coefficienti degli ultimi termini delle varie sommatorie.

    

Nota 1

Questa formula esposta da Bernoulli fu scoperta precedentemente da Johann Faulhaber (1580-1635). Oggi chiamiamo numeri di Bernoulli quelli che venivano indicati con lettere maiuscole.

                                                  

                                   ….

Utilizzando questi numeri insieme con i coefficienti binomiali, oggi possiamo indicare quella somma così

 

 

a patto però di porre  

Siccome,invece, attualmente si preferisce porre   tenendo conto che i numeri di Bernoulli valgono zero per tutti gli altri indici dispari, la formula di Faulhaber si può scrivere così:

 

per esempio se c=2

 

 

Nota 2

Nel testo originale per indicare la somma è usato il simbolo , una s deformata,, che ora usiamo solo per quelle particolari somme di infiniti infinitesimi costituite dagli integrali. Ecco i simboli corrispondenti usati ai nostri tempi:

                  

Nota 3

Nel penultimo polinomio è segnato in rosso un coefficiente che nel testo originale risulta errato. Probabilmente si tratta di un vecchio errore di stampa. Non è 1/12 come nel testo originale ma 3/20 come si può facilmente constatare dato che la somma dei coefficienti di questi polinomi deve sempre dare 1 perché questo è il risultato della somma progressiva di potenze quando sono formate da un solo elemento.

Ringraziamenti

Ringrazio Ivana Niccolai e Gisella Malagodi che mi hanno aiutato con le loro conoscenze della lingua latina. Spero di essere riuscito a fare un uso appropriato e corretto delle loro preziose informazioni.